Цифровая обработка сигналов в радиоэлектронных системах (стр. 15 )

где .

Возможны следующие виды «удобных» корней:

-  корень, является корнем порядка по ;

-  корень является корнем порядка: по ;

-  корень,, .

ТЧПФ имеет длины преобразований, которые выражаются составными числами. Это позволяет для их вычисления воспользоваться алгоритмами типа БПФ. - Так, если длина равна степени двойки, то возможны быстрые алгоритмы преобразований, структура которых аналогично БПФ с прореживанием по частоте и по времени за исключением того, что операционный умножитель на поворачивающий множитель заменяется операцией умножения на степень двойки, то есть сдвигами:

. (98)

Вычислительная сложность быстрого ТЧПФ составит - операций сложения и - операций сдвига.

Пример. Пусть ; . Тогда для . Для .

Выберем тогда:

.

Основные применения ТЧП - это вычисление точных значений свертки.

Пример. Предположим, необходимо вычислить циклическую свертку двух последователь­ностей и . Выберем ТЧПФ с параметрами . Спектры последовательностей равны:

и .

Произведение одноименных спектральных коэффициентов дает следующий результат . Обратное число . Значения циклической свертки равны:

.

4. СВЕРТКА СИГНАЛОВ

4.1. Линейная и циклическая свертки

Дискретным эквивалентом линейного аналогового фильтра (согласованного, полосового и т. п.), выходной сигнал которого определяется интегралом свертки

является дискретный фильтр, формирующий весовую сумму (линейную свертку):

, (k-n)³0. (99)

Здесь x[n]=x(nDt), n=0,1,2,…, - сигнал на входе фильтра, h[k-n] – весовые коэффициенты, определяющие импульсную характеристику аналогового фильтра h(t), N- объем выборки. Для реализации цифрового фильтра необходимы устройства, выполняющие операции сложения, умножения и задержку.

В более общем виде можно рассмотреть класс линейных инвариантных к сдвигу (ЛИС) систем, который включает много полезных, широко используемых методов обработки сигналов, в том числе и фильтрацию сигналов. Соотношение вход-выход для ЛИС систем задается в виде свертки

,

где - входной сигнал; - множество отсчетов выходного сигнала; - импульсный отклик ЛИС системы; символ звездочка как двучленный оператор означает свертку.

Система ЛИС полностью определяется своим импульсным откликом . Считается, что система является каузальной тогда и только тогда, когда при n < 0.

Если импульсная реакция имеет конечную длительность , то бесконечная сумма сводится к конечной сумме

.

Предположим, что обрабатываются два каузальных цифровых сигнала длиной L и длиной M. Тогда линейная (апериодическая) свертка этих сигналов имеет длину (L + M –1) и определяется как

. (100)

Если L = M , то выражение для линейной свертки можно записать в матричном виде

. (101)

В большинстве алгоритмов вычисления свертки входная последовательность делится на последовательные блоки по L отсчетов и вычисляется как сумма линейных сверток каждого из этих блоков с M точечной последовательностью .

Используя понятия алгебры полиномов, процесс вычисления линейных сверток y(b) можно представить в виде произведения двух полиномов x(b) и h(b):

, ,

. (102)

Рассмотрим поведение свертки относительно дискретных преобразований. Начнем с дискретного преобразования Лапласа. Z-преобразование дискретной последовательности имеет вид

.

Фундаментальным свойством ЛИС является соотношение, согласно которому операция свертки во временной области, соответствует операции умножения в области Z-преобразований:

. (103)

Важным классом ЛИС систем являются системы, имеющие z – преобразование в виде рациональных функций. В этом случае H(z) = B(z)/A(z), где и – полиномы конечной степени. Так как Y(z) = H(z) X(z), то получаем A(z) Y(z) = B(z) X(z). Во временной области отклик системы и входное воздействие связаны между собой разностным уравнением

.

Без потери общности можно положить a0 = 1.Тогда отклик системы на заданное входное воздействие при известных начальных условиях запишется как следующее рекуррентное соотношение

.

Заметим, что в рекуррентном соотношении каждая сумма представляет собой оператор свертки. Импульсный отклик такой системы имеет бесконечную длительность. Такие системы называют системами с бесконечной импульсной характеристикой (БИХ) или рекурсивными системами.

Важный подкласс множества рациональных Z-преобразований имеет знаменатель A(z) =1. В этом случае рекуррентное соотношение не содержит членов обратной связи, а отклик y[n] представляет собой просто свертку входного воздействия x[n] с коэффициентами bk полинома B(z). Такие системы часто называют системами с конечной импульсной характеристикой (КИХ) или нерекурсивными системами.