Цифровая обработка сигналов в радиоэлектронных системах (стр. 18 )

Ортогональное преобразование, базисные векторы которого являются собственными векторами заданных ковариационных матриц, называется дискретным преобразованием Карунена-Лоэва (ПКЛ).

Пример. Пусть ковариационные матрицы имеют следующий вид:

.

Тогда матрица отклика равна

.

Для нахождения собственных значений составим матричное уравнение , которое приводит к характеристическому многочлену

.

Решая последнее уравнение, находим . Выполнив вычисления, можно получить, что нормированные собственные векторы, соответствующие найденным собственным значениям, имеют вид

.

Матрица искомого ортогонального преобразования имеет вид

.

Матрица оптимального винеровского фильтра в этом случае имеет вид

.

Фильтры с диагональными элементами иногда называются скалярными; векторные фильтры относятся к более общему классу, который определяется матрицами, содержащими внедиагональные элементы.

К сожалению, дискретное ПКЛ нельзя вычислить с помощью быстрых преобразований. В этой связи представляют интерес так называемые субоптимальные диагональные фильтры, которые допускают применение быстрых преобразований. Сравнительный анализ известных преобразований показывает, что при оценивании марковских процессов на фоне белого шума среднеквадратичная ошибка дискретного косинусного преобразования (ДКП) очень близка к ошибке при ПКЛ. Качество работы фильтра с ДПФ асимптотически стремится к соответствующему качеству работы ПКЛ. Этот результат является частным случаем теоремы Теплица, которая утверждает, что

, (118)

где S - ковариационная матрица стационарного в широком смысле случайного процесса и L - матрица собственных значений S.

Дискретное косинусное преобразование.ДКП последовательности входных значений x[n], n=0,1,…,N-1 запишется как

(119)

Множество базисных векторов ДКП образует класс дискретных многочленов Чебышева. Обратное ДКП записывается в виде

.

N-точечное ДКП может быть вычислено с помощью 2N-точечного ДПФ следующим образом:

, ,

где - последовательность, полученная из исходной путем дополнения последней до удвоенной длины нулями .

6. СПЕКТРАЛЬНЫЙ АНАЛИЗ СИГНАЛОВ

Спектральный анализ заключается в разложении сигнала на его частотные или спектральные составляющие и оценке или измерении их характеристик – амплитуды, фазы, мощности, спектральной плотности мощности и др.

Основными методами спектрального анализа являются фильтровые (методы полосового анализа), бесфильтровые (основанные на ДПФ), параметрические (на основе параметрических моделей случайных процессов), текущего, скользящего и скачущего анализа.

К параметрам анализаторов спектра относятся: число каналов анализа; время наблюдения или анализа (ширина окна) и соответствующее ему число отсчетов или длина обрабатываемой реализации; полоса анализа, не превышающая для дискретных сигналов основной полосы спектра; разрешение по частоте, обратное, пропорциональное времени анализа и соответствующее разности частот двух соседних разрешаемых (разделяемых) частотных составляющих сигнала.

6.1. Спектральный анализ стационарных гармонических сигналов

Предполагается, что спектр аналогового сигнала x(t) сосредоточен в ограни­ченной полосе частот и, следовательно, его параметры могут быть оценены с помощью спектральных характеристик дискретного эквивалента x[n], который формируется после предварительной аналоговой фильтрации на выходе АЦП. Эффекты наложе­ния и шумы цифрового преобразования не учитываются. Параметры гармонического сигнала, такие как, амплитуда, фаза и частота не изменяются во времени.

Для таких сигналов спектральный анализ может быть выполнен с помощью дискретного во времени преобразования Фурье (ДВПФ):

.

На практике для анализа используется последовательность , которая определяется как произведение дискретного сигнала x[n] на весовую функцию w[n] на конечном интервале N. В качестве оценки спектра берется спектр взвешенной последовательности , , который вычисляется с помощью R-точечного ДПФ (БПФ), (R ³ N) (рис. 14).

Переход к дискретным частотам осуществляется в точках

.

Дискретные частоты связаны с номером отсчета ДПФ соотношением

. (100)

При этом номер k коэффициента ДПФ связан с частотой сигнала fc и частотой дискретизации соотношением

. (101)

Выход канала ДПФ G(k) совпадает с выходом нерекурсивного фильтра с импульсной характеристикой, отвечающей условию

или .

Такой фильтр имеет частотную характеристику

,

являющуюся комплексно-сопряженной частотной характеристикой весовой функции , смещенной вправо (или влево) к частоте wk.

Для анализатора с прямоугольной весовой функцией

.

Частотная характеристика имеет главный лепесток шириной с относительным уровнем максимального бокового лепестка dбл= –13,6 дБ.

Однозначное разрешение комплексного гармонического сигнала имеет место только на частотах, совпадающих с частотами анализа ДПФ, когда в интервале анализа укладывается целое число периодов сигнала. В этом случае сигнал присутствует только на выходе одного канала (или иначе) проецируется на один бин ДПФ.

На сигналы с частотой, не равной wk , откликаются два соседних канала на уровне главных лепестков их частотных характеристик, а на уровне боковых лепестков откликаются все каналы ДПФ. Это явление называют размыванием спектра или эффектом просачивания.

Пример. Предположим, что анализируется сигнал , . Представим его в виде

.

Дискретное во времени преобразование Фурье дает

.

Пусть частота сигнала fc = 10 Гц, размер ДПФ R =32, частота дискретизации f¶ = =64 Гц. Тогда k = 10×32/64 = 5. Спектр ДПФ будет содержать два отличных от нуля коэффициента X(5) и X(32-5=27).

Если частота сигнала fc = 11 Гц, при таких же условиях получаем

.

Отсчет дискретного во времени преобразования Фурье для частоты fc = 11 Гц будет располагаться между коэффициентами спектра ДПФ с номерами k=5 и k=6. Происходит размытие спектра сигнала на выходе спектроанализатора. При введении прямоугольного окна и

.

ДВПФ определяется в виде частотного сдвига на частотной характеристики весового окна с учетом масштабирующего множителя 0,5. В частотном диапазоне это проявляется в виде двух пиков на частотах 0,344p и 2p(1-11/64)=1,656p/