Тема 1. Введение в цифровую обработку сигналов (стр. 18 )

Реакция системы на произвольный сигнал. Если функция импульсного отклика системы известна, то, с учетом принципа суперпозиции сигналов в линейной системе, можно выполнить расчет реакции системы в любой произвольный момент времени на любое количество входных сигналов с любыми моментами времени их прихода путем суммирования запаздывающих реакций системы на эти входные сигналы, как это показано на рисунке 3.5 для трех входных импульсов. В общем случае произвольный сигнал на входе системы может быть разложен в линейную последовательность взвешенных единичных импульсов:

. (3.17)

На основании принципа суперпозиции линейный оператор Т может быть внесен под знак интеграла, так как последний представляет собой предельное значение суммы. При этом операция преобразования действует только по переменной t:

. (3.18)

Это выражение представляет собой интеграл Дюамеля или свертку входного сигнала с импульсной характеристикой системы. Заменой переменных t-=можно убедиться в том, что эта операция, как и положено свертке, коммутативна:

.

.

Аналогично, для дискретных и цифровых сигналов:

; (3.19)

. (3.20)

В символической форме математического представления:

;

.

В реальных физических системах импульсный отклик равен нулю при t<0 (реакция на выходе системы не может опережать входной сигнал) и, как правило, отличен от нуля только на определенном интервале r, по которому и ведется интегрирование или суммирование в выражениях свертки. При обработке данных на ЭВМ требований по односторонности импульсного отклика не предъявляется, равно как и по его размерам вперед и назад от нуля по координатам.

Усиление постоянной составляющей сигнала. Подадим на вход системы постоянный сигнал = A. При этом сигнал на выходе системы:

, (3.21)

т. е. площадь импульсного отклика (для цифровой системы соответственно сумма коэффициентов импульсного отклика) является коэффициентом Кпс усиления постоянной составляющей входного сигнала. Если при обработке сигналов должны изменяться только динамические характеристики их формы без изменения постоянной составляющей, а равно и различных постоянных уровней (фона, пьедесталов, региональных трендов и т. п.), то площадь импульсного отклика (сумма коэффициентов) должна нормироваться к единице.

Усиление шумов. Критерием качества системы при использовании любого метода обработки информации можно считать выполнение целевого назначения с минимальным усилением шумов (максимальным их подавлением). Допустим, что система имеет нормированный к единице импульсный отклик . Обозначим через аддитивный шум с математическим ожиданием и дисперсией , который в сумме с сигналом поступает на вход системы. Значения статистически независимы и некоррелированы с сигналом. С учетом помехи во входном сигнале значение сигнала на выходе системы:

.

Математическое ожидание значений выходного сигнала:

.

Дисперсия распределения отсчетов выходного сигнала:

.

Если правую часть последнего выражения представить в виде

,

то в этом выражении математические ожидания всех членов произведения с сомножителями при n ¹ m равны 0 в силу статистической независимости значений шума. Остаются только члены с n = m, т. е.:

. (3.22)

Отсюда следует, что сумма квадратов значений нормированного импульсного отклика системы представляет собой коэффициент усиления аддитивных шумов во входном сигнале.

Пример.

Сглаживающий фильтр: y(k) = 0.2x(k-n).

Коэффициент усиления шумов: 5 (0.22) = 0.2.

Дисперсия шумов уменьшается в 1/0.2 = 5 раз.

Определение реакции на единичный импульс требуется для рекурсивных систем, так как импульсная реакция для НЦС специального определения не требует:

.

Если выражение для системы известно в общей форме (3.13), определение импульсной реакции производится подстановкой в уравнение системы импульса Кронекера с координатой k = 0 при нулевых начальных условиях, при этом сигнал на выходе системы будет представлять собой импульсную реакцию системы: y(k) º h(k).

Пример.

Уравнение РЦС: yk = xk + 0.5yk-1.

Входной сигнал: xk= o={1,0,0,0,...}.

Расчет выходного сигнала при нулевых начальных условиях:

yo = xo+0.5 y-1 = 1+0 = 1 = ho. y1 = x1+0.5 yo = 0+0.5 = 0.5 = h1. y2 = x2+0.5

y1 = 0+0.25 = 0.25= h2

y3 = x3+0.5 y2 = 0.125 = h3. y4 = x4+0.5 y3 = 0.0625 = h4, и так далее.

Импульсный отклик системы: hk = {1, 0.5, 0.25, 0.125, ... } º (O.5)k, k = 0,1,2....

Определение импульсной реакции физических систем обычно производится подачей на вход систем ступенчатой функции uo(k) = 1 при k ³ 0, и uo(k) = 0 при k < 0:

.

Функция g(k) получила название переходной характеристики системы (перехода из одного статического состояния в другое).

3.3. Передаточные функции цифровых систем

Z-преобразование является удобным методом решения разностных уравнений линейных систем. Применяя z-преобразование к обеим частям равенства (3.13), получаем:

, (3.23)

где X(z),Y(z)- соответствующие z-образы входного и выходного сигнала. Из этого выражения, полагая ao = 1, получаем в общей форме функцию связи входа и выхода системы - уравнение передаточной функции системы (или системной функции) в z-области:

. (3.24)

Для нерекурсивных систем при am = 0:

. (3.25)

При подаче на вход системы единичного импульса Кронекера , имеющего z-образ , сигнал на выходе системы будет представлять собой импульсную реакцию системы y(k) = h(k), при этом:

. (3.26)

т. е. передаточная функция системы является z-образом ее импульсной реакции. При обратном z-преобразовании передаточной функции соответственно получаем импульсную характеристику системы:

.

Если функция H(z) представлена конечным степенным полиномом, как это обычно имеет место для НЦС, то обратное z-преобразование элементарно. Передаточная функция РЦС также может быть представлена степенным полиномом прямым делением числителя на знаменатель правой части выражения (3.23), однако результат при этом может оказаться как конечным, так и бесконечным, т. е. система может иметь либо конечную, либо бесконечную импульсную характеристику. Системы с бесконечной импульсной характеристикой получили название БИХ-систем, с конечной импульсной характеристикой соответственно КИХ-систем. Нерекурсивные системы всегда имеют конечную импульсную характеристику, т. к. длительность импульсной реакции НЦС определяется окном фильтра.

Устойчивость систем. Любая практическая система должна быть устойчивой, т. е. для сигналов, конечных по энергии или средней мощности, выходные сигналы также должны быть конечными по этим параметрам. Система называется устойчивой, если при любых начальных условиях реакция системы на любое ограниченное воздействие также ограничена.

Для конечного по энергии входного сигнала, можно записать: