Тема 1. Введение в цифровую обработку сигналов (стр. 19 )

.

Отсюда следует условие, при котором выходной сигнал системы также будет ограниченным:

. (3.27)

т. е. необходимым и достаточным условием устойчивости системы является абсолютная сходимость ее импульсной характеристики, или, для цифровых систем, абсолютная суммируемость импульсного отклика:

. (3.28)

Анализ устойчивости может быть проведен по передаточной функции. В устойчивой системе значение H(z) должно быть конечным во всех точках z-плоскости, где |z| ≥ 1, а, следовательно, передаточная функция не должна иметь особых точек (полюсов) при z ≥ 1 (вне единичного круга на z-плоскости). Полюсы определяются корнями многочлена знаменателя передаточной функции H(z).

Приведенный критерий устойчивости относится к несократимой дроби, т. к. в противном случае возможна компенсация полюса нулем передаточной функции и следует проверить наличие однозначных нулей и полюсов.

Проверка на устойчивость требуется только для рекурсивных цифровых фильтров (систем с обратной связью), нерекурсивные системы всегда устойчивы.

3.4 Частотные характеристики систем

Для линейных систем, принимая в качестве сигнала на входе системы собственную функцию , мы вправе ожидать на выходе системы сигнал . Подставляя эти выражения в разностное уравнение системы (3.10), получаем:

;

;

. (3.29)

Отсюда, частотная передаточная функция системы (частотная характеристика при нормировке к ао=1):

. (3.30)

Нетрудно убедиться, что подстановкой z = exp(jt) в выражение передаточной функции H(z) (3.24) может быть получено абсолютно такое же выражение для частотной характеристики, т. е.:

.

При обратном преобразовании H(z) во временную область с использованием выражений (3.26) отсюда следует также, что частотная характеристика системы представляет собой Фурье-образ ее импульсной реакции, и наоборот. При t = 1:

; (3.31)

. (3.32)

В общем случае H() является комплексной функцией, модуль которой R() называется амплитудно-частотной характеристикой системы (АЧХ), а аргумент - фазочастотной характеристикой (ФЧХ).

;

.

Физический смысл частотной характеристики системы достаточно прост. Произвольный сигнал на входе системы может рассматриваться в виде суммы гармонических составляющих с различным набором амплитуд и начальных фазовых углов. Амплитудно-частотной характеристикой системы устанавливаются коэффициенты усиления системой (коэффициенты передачи) этих частотных составляющих, а фазочастотной характеристикой - сдвиг фаз этих частотных составляющих в выходном сигнале относительно начальных фаз во входном сигнале.

Основные свойства частотных характеристик систем:

1. Частотные характеристики являются непрерывными функциями частоты.

2. При дискретизации данных по интервалам t функция H() является периодической. Период функции H() равен частоте дискретизации входных данных F = 1/t. Первый низкочастотный период (по аргументу от -/t до /t, по f от -1/2t до 1/2t) называется главным частотным диапазоном передачи сигнала. Граничные частоты главного частотного диапазона соответствуют частоте Найквиста ±N, N = /t. Частота Найквиста определяет предел частотной разрешающей способности системы по обработке данных.

3. Для систем с вещественными коэффициентами импульсной реакции h(nt) функция АЧХ является четной, а функция ФЧХ - нечетной. С учетом этого частотные характеристики систем обычно задаются только на интервале положительных частот 0-N главного частотного диапазона. Значения функций на интервале отрицательных частот являются комплексно сопряженными со значениями на интервале положительных частот.

3.5 Дискретизация сигналов

3.5.1 Принципы дискретизации

Сущность дискретизации аналоговых сигналов заключается в том, что непрерывная во времени аналоговая функция заменяется последовательностью коротких импульсов, амплитудные значения которых определяются с помощью весовых функций, либо непосредственно выборками (отсчетами) мгновенных значений сигнала в моменты времени . Представление сигнала на интервале Т совокупностью дискретных значений записывается в виде:

,

где - оператор дискретизации.

Запись операции восстановления сигнала :

.

Выбор операторов и определяется требуемой точностью восстановления сигнала. Наиболее простыми являются линейные операторы. В общем случае:

, (3.33)

где - система весовых функций.

Отсчеты в выражении (3.33) связаны с операцией интегрирования, что обеспечивает высокую помехоустойчивость дискретизации. Однако в силу сложности технической реализации "взвешенного" интегрирования, последнее используется достаточно редко, при высоких уровнях помех. Более широкое распространение получили методы, при которых сигнал заменяется совокупностью его мгновенных значений в моменты времени . Роль весовых функций в этом случае выполняют решетчатые функции. Отрезок времени между соседними отсчетами называют шагом дискретизации. Дискретизация называется равномерной с частотой , если значение постоянно по всему диапазону преобразования сигнала. При неравномерной дискретизации значение между выборками может изменяться по определенной программе или в зависимости от изменения каких-либо параметров сигнала.