Тема 1. Введение в цифровую обработку сигналов (стр. 28 )

. (5.7)

В вычислениях по этой формуле отсутствует петля обратной связи, поэтому такой фильтр называется нерекурсивным. Так как его ДИХ является ограниченной такой цифровой фильтр относится к классу фильтров с конечной импульсной характеристикой – КИХ-фильтров. Импульсная характеристика фильтра с обратной связью, описываемого уравнением (5.4), бесконечная и такие фильтры называются фильтрами с бесконечной импульсной характеристикой – БИХ-фильтрами.

Таким образом, для одного и того же аналогового фильтра получены две различные схемы вычислений цифровых фильтров.

Нерекурсивные фильтры требуют большего числа вычислений, однако при определенных условиях они позволяют получить линейную фазовую характеристику цифрового фильтра и обеспечивают устойчивость работы.

5.1.4 Комплексный коэффициент передачи цифрового фильтра

Анализ свойств цифровых фильтров проводят путем исследования их частотных характеристик. Чтобы получить выражение для комплексного коэффициента передачи цифрового фильтра, на его вход необходимо подать испытательное воздействие в виде дискретизированной комплексной экспоненты:

, (5.8)

функционально эквивалентной дискретизированной синусоиде с цифровой частотой

.

Реакция фильтра на такое воздействие будет представлять собой также синусоидальное колебание с той же частотой, но другой амплитудой и фазовым сдвигом :

.

Множитель

(5.9)

представляет собой комплексный коэффициент передачи фильтра.

Модуль комплексного коэффициент передачи - это амплитудно-частотная характеристика (АЧХ) фильтра; - фазочастотная характеристика (ФЧХ) фильтра.

5.2 Способы описания цифровых фильтров

Реакция цифрового фильтра на входное воздействие определяется сверткой этого воздействия с импульсной характеристикой фильтра:

.

Из свойств -преобразования следует, что свертке последовательностей и соответствует произведение их -преобразований

. (5.10)

Из равенства (5.10) следуют выводы:

а) является -преобразованием импульсной характеристики фильтра :

; (5.11)

б) так как и - это -преобразования входного воздействия и выходной реакции цифрового фильтра, то является передаточной функцией фильтра:

. (5.12)

Передаточную функцию цифрового фильтра, полученную как -преобразова-ние его ДИХ в общем виде можно представить отношением двух полиномов, или дробно-рациональной функцией от переменной :

. (5.13)

Это наиболее общее выражение для . Коэффициенты и называются коэффициентами цифрового фильтра. Цифровой фильтр считается рассчитанным (синтезированным), если определены порядки M и L полиномов числителя и знаменателя и коэффициенты и .

Передаточной функции соответствует разностное уравнение цифрового фильтра:

. (5.14)

Коэффициенты и разностного уравнения являются соответствующими коэффициентами передаточной функции цифрового фильтра.

Разностное уравнение представляет собой алгоритм, по которому можно составить программу для реализации цифровой фильтрации.

5.3 Цифровые фильтры 1-го и 2-го порядков

5.3.1 Нерекурсивный фильтр 1-го порядка

Передаточная функция нерекурсивного фильтра 1-го порядка получается из общего уравнения (5.13) при =0 при ≥2 и при =0, при ≥1:

. (5.15)

Разностное уравнение этого фильтра имеет вид:

. (5.16)

Для анализа характеристик фильтра уравнения (5.15), (5.16) представляют в следующем виде:

; (5.17)

, (5.18)

где .

Коэффициент выполняет в этих уравнениях только масштабирующие функции и не оказывает влияния на характеристики фильтра. Поэтому для анализа уравнение передаточной функции записывается в виде:

. (5.19)

Рабочим диапазоном частот цифрового фильтра является интервал Найквиста, в цифровых частотах это диапазон от 0 до .

Для комплексного коэффициента передачи фильтра выражение (5.19) при переменной

. (5.20)

При подстановке в (5.20) представления экспоненты в тригонометрической форме

. (5.21)

АЧХ фильтра определяется как модуль :

. (5.22)

Выражение для определения ФЧХ

. (5.23)

Задавая разные значения и изменяя значения от 0 до 2, можно построить АЧХ и ФЧХ проектируемого цифрового фильтра.

При >0 получим ФНЧ, при <0 получим ФВЧ, при =±1 ФЧХ фильтра линейная. Линейность ФЧХ фильтра необходима при обработке сигналов, у которых информационным параметром является фаза, или не должно происходить фазовых искажений сигналов при обработке.

Дискретная импульсная характеристика фильтра определяется последовательностью коэффициентов передаточной функции , представленной в виде полинома по степеням :

.