Тема 1. Введение в цифровую обработку сигналов (стр. 35 )

;

;

или параболами четвертой степени по семи, девяти, одиннадцати и тринадцати точкам:

;

;

,

.

В практических применениях дают хорошие результаты другие эффективные способы, например, 15-точечное сглаживание Спенсера:

.

Подставив в эти выражения комплексную экспоненту , где , можно определить передаточную функцию соответствующего преобразования.

Для арифметического усреднения

.

Выражение в скобках представляет собой геометрическую прогрессию со знаменателем , следовательно это выражение можно представить в виде:

.

Эта формула представляет собой передаточную характеристику фильтра низких частот и из нее видно, что, чем больше слагаемых задействованы при усреднении, тем больше подавление шумовых высокочастотных составляющих в сигнале (см. рисунок 6.1).

Однако смысловое понятие частоты при обработке временных трендов отличается от аналогичного понятия при обработке сигналов. Это объясняется тем, что при исследовании временных трендов интерес представляет не их частотный состав, а вид изменения (увеличение, уменьшение, постоянство, цикличность и т. д.).

Также достаточно эффективно для сглаживания данных применение, так называемых, эвристических алгоритмов.

Одним из них является медианная фильтрация. В ходе ее реализации в скользящем временном окне размерностью , где целое нечетное число, центральный элемент заменяется средним элементом последовательности, представляющих собой упорядоченные, в порядке возрастания значений, элементы массива данных сглаживаемого сигнала, попавших во временное окно. Достоинством медианной фильтрации является способность удалять импульсные помехи, длительность которых не превышает , практически без искажения плавно изменяющихся сигналов. Данный способ подавления шумов не имеет строгого математического обоснования, однако простота вычислений и эффективность получаемых результатов обусловили широкое его распространение.

Рисунок 6.1 - Графики передаточной характеристики

операции арифметического усреднения для m=5, 7, 9, 11

Другим интересным алгоритмом сглаживания является медианное усреднение. Его сущность состоит в следующем. В скользящем временном окне, размерности ( - целое нечетное число), элементы массива данных упорядочиваются в порядке возрастания, а затем из упорядоченной последовательности удаляется по первых и последних элементов (<). Центральный элемент временного окна из последовательности сглаживаемых данных заменяется значением, вычисляемым как

.

Этот способ позволяет подавить импульсные и радиочастотные помехи, а также достигнуть хорошего сглаживания сигналов.

6.2 Определение параметров тренда зашумленного сигнала

Во многих случаях для выявления характера изменения зашумленного, но, вместе с тем, достаточно медленно изменяющегося сигнала на каком то временном отрезке, можно найти описание этого изменения в виде алгебраического многочлена, причем для практического применения можно ограничиться первой или второй степенью этого многочлена.

Так как многочлен должен описывать дрейф на всем интервале анализа, то он может быть найден как среднеквадратическое приближение в виде полинома:

.

Значения коэффициентов многочлена наилучшего приближения могут быть найдены как решение системы уравнений:

;

;

;

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

;

Для функции f(x), представленной в дискретном виде со значениями аргумента от 0 до N-1

; .

На практике для описания низкочастотного дрейфа целесообразно применять полиномы первой или второй степени.

Для полинома первой степени система уравнений приобретает вид:

;

.

Решая эту систему получим:

; ;

Для полинома второй степени система выглядит следующим образом:

;

;

;

После ввода обозначений :

; ; ;

; ;

Эта система приобретает вид

;

;

;

Для дискретной последовательности аргумента х значения коэффициентов определяются следующими выражениями :

; ; ;

;

,

а коэффициенты r рассчитываются по формулам:

; ; .

Применив метод определителей для решения системы, можно получить коэффициенты для полинома второй степени:

; ; ,

где

;

;

;

.

Низкочастотный дрейф исследуемого сигнала после этого описывается полиномом второй степени

или полиномом первой степени

,

где .