Программа курса «Дифференциальная геометрия и топология», 2 семестр
(лектор – )
Примечание: дисциплина читается[1] во втором семестре 2-го курса для студентов направления подготовки «Математика» (предполагается также, что в первом семестре того же курса студентами изучены основы общей топологии).
I. Введение в теорию кривых и (двумерных) поверхностей.
1. Простые линии на плоскости. Задание линий уравнениями. Теорема Уитни (о задании любого замкнутого подмножества плоскости гладким уравнением).
2. Жордановы кривые. Кривая Пеано. Гладкие и регулярные кривые. Натуральный параметр.
3. Формулы Френе для плоской и пространственной кривой, а также кривой в n-мерном евклидовом пространстве. Существование и единственность кривой с данными кривизнами.
4. Элементарные двумерные поверхности и их параметризации. Примеры поверхностей.
5. Касательная плоскость и касательное подпространство к поверхности.
6. Гладкие отображения поверхностей и их дифференциалы. Диффеоморфизм поверхностей.
7. Первая квадратичная форма поверхности. Изометрии. Примеры вычисления первых квадратичных форм поверхности.
8. Вектор номали. Нормальные сечения. Вторая квадратичная форма поверхности. Примеры.
9. Индикатриса Дюпена. Главные, полная и средняя кривизны поверхности.
10. * Третья квадратичная форма поверхности, её выражение через первую и вторую формы.
11. Линейчатые поверхности, поверхности вращения и другие примеры поверхностей.
12. Деривационные формулы Вейнгартена. Коэффициенты связности.
13. Теорема Гаусса. Явная формула для гауссовой кривизны.
14. Необходимые и достаточные условия изометричности поверхностей. Поверхности постоянной кривизны.
II. Введение в теорию гладких многообразий.
1. Карты и атласы. Максимальные атласы. Топологические и гладкие многообразия. Размерность многообразия. Примеры многообразий.
2. Топология гладкого многообразия. Топологические свойства многообразий. Нехаусдорфовы многообразия. Введение гладкой структуры в топологическое пространство. Нульмерные многообразия.
3. Гладкие отображения гладких многообразий. Диффеоморфизмы. Перенесение гладкости.
4. *Теоремы классификации одномерных и двумерных многообразий (без доказательства).
5. Векторы, касательные к гладкому многообразию (три определения-подхода и их эквивалентность). Касательное пространство.
6. Дифференциал гладкого отображения. Цепное правило. Ещё одна интерпретация теоремы об обратной функции. Градиент гладкой функции.
7. Теорема о замене локальных координат.
8. Различные подходы к определению подмногообразия (погружённость и вложенность). Иррациональная обмотка тора и другие примеры.
9. Подпростраство, касательное к подмногообразию. Локальное задание вложенного подмногообразия.
10. *Теорема Сарда и теорема вложения Уитни (обе без доказательства).
11. Многообразия с краем.
12. Тензорные* и векторные поля на многообразии. Алгебра Ли векторных полей. Интегральные кривые векторных полей.
13. Линейные дифференциальные формы на многообразии. Дифференциальные формы произвольной степени. Внешний дифференциал дифференциальной формы. Теорема (формула) Стокса для многобразий (без доказательства).
14. Регулярные и критические значения. Теорема о прообразе регулярного значения. Доказательство основной теоремы алгебры.
15. Гладкая гомотопия гладких отображений и гладкая изотопия диффеоморфизмов.
16. Степень отображения по модулю 2, её независимость от выбора регулярного значения и неизменность при гомотопиях. Теорема Брауэра о неподвижной точке (гладкий случай).
17. Ориентируемые и ориентированные многообразия. Неориентируемость листа Мёбиуса, бутылки Клейна и проективной плоскости.
18. Степень Брауэра и теорема о «еже».
Литература
1. М. Лекции по геометрии, семестр III: Гладкие многообразия. — М., Наука, 1987.
2. Милнор Дж., Дифференциальная топология, начальный курс. — М., Мир, 1972.
[1] Поскольку весной 2016 г. данный курс будет читаться впервые, программа может меняться в процессе чтения лекций. Ввиду чего настоящий файл также будет претерпевать изменения в течение семестра. Следите за обновлениями.
