Верификация моделей скорости химической реакции в турбулентных реагирующих потоках при числе шмидта значительно превышающим единицу (стр. 3 )

Важным следствием предположения бесконечно быстрой химической реакции является то, что мгновенная концентрация реагентов Ya= Ya( f ) является функцией только одной консервативной переменной – коэффициента смеси f. Поэтому задача определения взаимодействия турбулентности и химических процессов значительно упрощается, поскольку статистика всех химических переменных может быть получена из знания статистики величины f, поскольку мгновенные значения концентраций составляют линейные зависимости от коэффициента смеси [24]:

a) YA¥/YA0=0, YB¥/YB0=1 – f/fst, = f при f < fst, (9)

б) req YA¥/YA0 = f/fst – 1, YB¥/YB0 = 0, req= 1 – f  при f > fst.

Использование ФПВ F(xi, t, G) коэффициента смеси f учитывает влияние турбулентных пульсаций на статистические скалярные моменты, где Г – вероятностная переменная f. Осредненные концентрации равны или согласно определениям (3) и (9)

(10)

В рассмотренном случае, осредненную скорость невозможно рассчитать из формулы (4), поскольку в силу введенных предположений и определений (9) очевидно, что  = –  и тем самым IS = –1. При моделировании рассчитываются средние концентрации реагентов и продуктов реакции. При учете конечной скорости химической реакции данное приближение используется как один из предельных случаев для расчета осредненных концентраций реагентов и продуктов реакции.

Предположенный вид ФПВ коэффициента смеси: модель для быстрой, но конечной скорости реакции. Рассмотрим статистическую информацию, необходимую для определения коэффициента смеси, использующегося для прогнозирования скорости химической реакции (4). Коэффициент сегрегации IS определяется как

,

где корреляция, согласно определений (3), равна

. (11)

Как было отмечено выше, корреляция может быть вычислена с привлечением метода совместной ФПВ P(xi, t, G, GP) для определения неизвестного статистического момента (11), где GP – вероятностная переменная YP. Используя метод, описанный в [9], для нахождения запишем осредненное значение концентрации продукта реакции как

. (12)

Согласно теореме Байеса [27] для совместной ФПВ справедливо соотношение , где – условная ФПВ концентрации YP, т. е. ФПВ при условии, что коэффициент смеси f принимает значение, равное Г. Тогда определение (12) преобразуется к виду

,

где – условная концентрация продукта реакции, . Условная величина принимает значения 0 и YP¥ для двух предельных случаев: YP = 0 – смешение без реакции и YP = YP¥ – смешение при бесконечно быстрой реакции, соответственно. Следовательно, для конечной скорости реакции областью определения является интервал (0, YP¥). В [28] предложена линейная интерполяция  = cYP¥(Г), где интерполяционный параметр c выбирается таким образом, чтобы выполнялось равенство , а значит . В результате в нашем случае коэффициент сегрегации может быть записан как , где корреляция

. (13)

Таким образом, единственной неизвестной величиной, как и в случае бесконечно быстрой реакции, остается ФПВ F(xi, t, G) коэффициента смеси.

В разное время и в зависимости от типа решаемых задач было предложено несколько различных приближенных аналитических представлений для ФПВ скаляров, конкретный вид которой содержит в качестве параметров статистические моменты самой ФПВ [1, 5 – 7, 9]. Для ФПВ F(xi, t, G) одной случайной скалярной переменной f в качестве примера можно привести представление в виде суммы двух d-функций, усеченного распределения Гаусса, β–ФПВ и т. д., которые определяются с использованием двух осредненных параметров турбулентного смешения – осредненного значения скаляра и его дисперсии.

Влияние аналитического вида ФПВ на значение коэффициента сегрегации IS, рассчитываемое из равенства (13), получено с применением как ФПВ F(xi, t, G) на основе экспериментальных данных, так и β–ФПВ. Последняя функция задается соотношением F(xi, t, G) = β ( f )/Ф(a, b), где β ( f )=f a–1(1–f )b–1, , , [29]. Тогда для нахождения интерполяционного параметра c значения осредненной концентрации продукта при бесконечно быстрой реакции из первого равенства (10) определяются как

,

где – неполная β–функция.

Результаты расчетов. Для EDC–моделей (5) и (6) основным параметром является масштаб времени tS, который задается через экспериментально полученные осредненные характеристики смешения – дисперсию s2 и диссипацию пульсаций коэффициента смеси, tS = s2 / . Дисперсия определялась непосредственно из мгновенных реализаций коэффициента смеси. Нахождение диссипации требует привлечения информации о статистике градиента скалярных полей. В настоящей работе, оставаясь в рамках условий проведенного эксперимента и обладая одноточечной статистикой скаляров, определялась локальная полная диссипация коэффициента смеси на основе гипотезы Тейлора для расчета локального осевого градиента коэффициента смеси с помощью производной по времени измеренной интенсивности сигнала [30]:

. (14)

Ошибка расчета по формуле (14) за счет введения гипотезы Тейлора не превышает 10 % [30]. Как видно из рис. 1, осредненная диссипация коэффициента смеси достаточно хорошо коррелирует с изменением диссипации пульсаций коэффициента смеси, рассчитанной как

,

где диссипация осредненного поля , что подтверждает факт о малом вкладе в скалярную диссипацию градиентов осредненного коэффициента смеси, т. е.  ≈ .

Полученные распределения диссипации использовались для расчета скорости химической реакции по EDC–модели (5) и (6) (константа реакции K = 108) (Рис. 2). Как видно, наблюдается существенное различие в скорости реакции при использовании отмеченных моделей. Химическая реакция протекает наиболее интенсивно (EDC–модель (5)) в окрестности оси смесителя и она практически нулевая вблизи стенок, что вполне согласуется с профилем продукта реакции, измеренного в эксперименте [17]. Скорость химической реакции максимальна на расстоянии x/D = 1.5, где наблюдается максимальное производство продукта реакции в силу достижения стехиометрического содержания реагентов в смеси (Рис. 3).