Кратные, криволинейные и поверхностные интегралы (стр. 11 )

3. Криволинейные интегралы

Криволинейный интеграл 1-го рода

1.  Длина кривой

Если подынтегральная функция f(x, y, z) ≡ 1, то из определения криволинейного интеграла 1-го рода получаем, что в этом случае он равен длине кривой, по которой ведется интегрирование:

(85)

2.  Масса кривой

Считая, что подынтегральная функция γ (x, y, z) определяет плотность каждой точки кривой, найдем массу кривой по формуле

(86)

Пример 23.

Найти массу кривой с линейной плотностью , заданной в полярных координатах уравнением

Используем формулу (86):

3. Моменты кривой l найдем, рассуждая так же, как в случае плоской

области:

- (87)

-  статические моменты плоской кривой l относительно осей Ох и Оу;

- (88)

-  момент инерции пространственной кривой относительно начала координат;

(89)

-  моменты инерции кривой относительно координатных осей.

4. Координаты центра масс кривой вычисляются по формулам

. (90)

Криволинейный интеграл 2-го рода

Если считать, что сила действует на точку, движущуюся по кривой (АВ), то работа этой силы может быть представлена как

, (91)

то есть криволинейным интегралом 2-го рода.

Пример 24.

Вычислить работу силы , действующей на точку, движущуюся по прямой от точки А(2; 1; 0) до точки В(-3; 2; 1).

Параметрические уравнения прямой АВ имеют вид: При этом dx = -5dt, dy = dt, dz = dt.

Работа

4. Поверхностный интеграл 1-го рода

1)  Площадь криволинейной поверхности, уравнение которой

z = f(x, y), можно найти в виде:

(92)

(Ω – проекция S на плоскость Оху).

2)  Масса поверхности

(93)

Пример 25.

Найти массу поверхности S: x2 + y2 + z2 = 4, с поверхностной плотностью .

Зададим поверхность S в явном виде: и найдем dS:

.

Поверхность S представляет собой часть сферы радиуса 2 с центром в начале координат, вырезанную плоскостью . Найдем проекцию этой поверхности на координатную плоскость Оху. Линией пересечения сферы и плоскости является окружность , то есть х2 + у2 = 1. Следовательно, проекцией S на плоскость Оху является круг единичного радиуса с центром в начале координат.

Вычислим массу поверхности в полярных координатах:

3)  Моменты:

- (94)

-  статические моменты поверхности относительно координатных плоскостей Oxy, Oxz, Oyz;

(95)

-  моменты инерции поверхности относительно координатных осей;

- (96)

-  моменты инерции поверхности относительно координатных плоскостей;

- (97)

-  момент инерции поверхности относительно начала координат.

4)  Координаты центра масс поверхности:

. (98)

Замечание. Так как формулы, задающие значения геометрических и физических величин с помощью интегралов, выводятся с помощью одних и тех же приемов для интегралов всех рассматриваемых типов, подробный их вывод дается только в начале главы. При желании можно провести аналогичные рассуждения для тройных, криволинейных и поверхностных интегралов и получить все формулы, приводимые без подробного вывода.

Практические занятия

Двойные и тройные интегралы

Занятие 1. Двойной интеграл в прямоугольных координатах.

Вычислить:

1)  , если область D – прямоугольник .

2)  , если область D – квадрат .

3)  , если область D ограничена линиями .

4)  , если область D ограничена прямыми .

5)  , если область D – прямоугольник .

6)  , если область D ограничена линиями .

7)  , если область D ограничена линиями .

Домашнее задание.

Вычислить:

1)  , если область D ограничена линиями .

2)  , если область D ограничена линиями .

3)  , если область D определяется неравенствами .

4)  , если область D ограничена линиями .

5)  , если область D – треугольник с вершинами А(2:3), B (7:2), C(4;5).

Занятие 2. Замена переменных в двойном интеграле.

Вычислить двойной интеграл:

1)  , если D – 1 четверть круга .

2)  , если D – кольцо между окружностями и .

3)  , если область D ограничена полуокружностью .

4)  , если область D ограничена линиями .