Кратные, криволинейные и поверхностные интегралы (стр. 12 )

5)  , если область D ограничена линиями .

6)  , введя новые переменные x=u(1-v), y=uv.

7)  , если область D ограничена линиями xy=1, xy=2, y=x, y=3x.

Домашнее задание.

Вычислить:

1)  , если D – кольцо между окружностями и .

2)  , если область D ограничена полуокружностью .

3)  , если область D ограничена полуокружностью .

4)  , если D – 1 четверть круга .

5)  , если область D ограничена окружностью .

Занятие 3. Приложения двойного интеграла.

Вычислить площади фигур, ограниченных заданными линиями:

1)  .

2)  (вне параболы).

3)  .

Вычислить объемы тел, ограниченных заданными поверхностями:

4)  .

5)  .

6)  .

7)  Найти площадь части поверхности , вырезанной цилиндром и расположенной в 1 октанте.

Домашнее задание.

Вычислить площади фигур, ограниченных заданными линиями:

1)  .

2)  .

Вычислить объемы тел, ограниченных заданными поверхностями:

3)  .

4)  .

5)  Найти площадь части сферы , вырезанной цилиндром .

Занятие 4. Тройной интеграл.

Вычислить:

1)  , если область Т – прямоугольный параллелепипед, определенный неравенствами .

2)  , если область Т ограничена сферой и плоскостями x=0, y=0, z=0.

3)  , если область Т ограничена поверхностями .

4)  , если область Т ограничена конической поверхностью и плоскостью z=2.

5)  , если область Т ограничена цилиндром и плоскостями y=0, y=1.

6)  , где область Т – шар .

7)  , где область Т – шар .

Домашнее задание.

Вычислить:

1)  , если область Т определяется неравенствами .

2)  , если область Т ограничена плоскостями x=0, y=0, z=0, x+y+z-2=0.

3)  , где область Т – шар .

4)  , если область Т ограничена цилиндром и плоскостями y=0, z=0, z=a.

5)  , где область Т – верхняя половина шара .

Криволинейные и поверхностные интегралы.

Занятие 1. Криволинейный интеграл первого рода.

Вычислить следующие криволинейные интегралы первого рода.

1)  , где L-контур квадрата |x|+|y|=a

2)  где L-отрезок OA и O(0,0), A(1,2)

3)  где L-отрезок АВ, А(2,4), В(1,3).

4)  где L- отрезок MN, M(0,-2), N(4,0).

5)  L-дуга циклоиды x = a (t-sin t), y=a (1-cos t), 0<t<2π.

С помощью криволинейного интеграла первого рода вычислить длины заданных дуг:

6) 

7) 

C помощью криволинейного интеграла первого рода найти координаты центра тяжести кривых:

8)  .

9) 

10) 

Домашнее задание:

Вычислить данные интегралы первого рода:

1)  где L задана уравнениями ,

2)  где L – первый виток винтовой линии

3)  где L-дуга пространственной кривой, заданной параметрически

4)  , где L- контур треугольника ABC c вершинами А(0,0) ,В(1,0), С(0,1).

5)  где L:

6)  L- дуга цепной линии x =аcos t, y =asin t, z =bt,
0≤t ≤2π.