Министерство образования и науки Украины
Национальный аэрокосмический университет им.
«Харьковский авиационный институт»
, ,
Техничеcкая механика.
Кинематический анализ
плоских рычажных механизмов
Учебное пособие
для самостоятельной работы студентов
Харьков «ХАИ» 2005
УДК 621.01
Техническая механика. Кинематический анализ плоских рычажных механизмов / , , . – Учеб. пособие для самостоятельной работы студентов. – Харьков: Нац.
аэрокосм. ун-т «Харьк. авиац. ин-т», 2004. – 36 с.
Рассмотрен аналитический метод кинематического анализа плоских рычажных механизмов, использующихся в авиационной технике. Особое внимание уделено применению вычислительной техники и интерпретации полученных с помощью ЭВМ результатов. Приведена картотека домашних заданий.
Для студентов, изучающих курсы «Техническая механика», «Теория машин и механизмов».
Ил. Библиогр.: 3 назв.
Рецензенты: канд. техн. наук, проф. ,
канд. техн. наук, доц.
© Национальный аэрокосмический университет им.
«Харьковский авиационный институт», 2005 г.
1. Кинематика. Краткие сведения
из курса теоретической механики
В ходе кинематического анализа определяют траектории точек и положения звеньев механизма, линейные и угловые скорости, ускорения звеньев и точек механизма.
Эти характеристики могут быть как конечной целью исследования, так и исходными данными для выполнения дальнейших расчетов, например, динамического анализа.
Звенья плоских рычажных механизмов в общем случае совершают поступательное, вращательное и плоское движение. Движение отдельных точек механизмов рассматривается как в абсолютной (неподвижной) системе отсчета, так и в относительной (подвижной) системе координат.
1.1. Кинематика точки
в абсолютной системе отсчета
Способы задания движения точки
Координатный способ задания движения точки
В пространстве материальная точка (т. е. тело, размерами которого можно пренебречь) обладает тремя степенями свободы. Систему координат, в которой будет задаваться движение точки, выбирают из соображений удобства и простоты. Положение точки считается полностью определенным, если в любой момент времени известны её координаты. Для прямоугольной декартовой системы координат это означает, что заданы функции
(1.1)
При движении точки в плоскости (две степени свободы) удобно использовать полярную систему координат, следовательно, должны быть заданы функции
. (1.2)
В общем случае количество необходимых уравнений определяется количеством степеней свободы точки.
Векторный способ задания движения точки
В этом случае положение точки определяется радиусом-вектором 
, начало которого совмещено с началом отсчета выбранной системы координат, а конец – с точкой, движение которой исследуется. Положение точки считается заданным, если в любой момент времени будут известны модуль и направление радиуса-вектора 
, т. е. должна быть определена функция
(1.3)
или
. (1.4)
Подставив уравнения (1.1) в (1.4), можно установить связь между векторным и координатным способами задания движения:
. (1.5)
Естественный способ задания движения точки
Применим только при известной траектории движения точки. Заключается в задании в любой момент времени положения точки на кривой, определяющей её траекторию. Для реализации этого способа вводят начало отсчета (положение точки в нулевой момент времени), направление положительного отсчета криволинейной координаты 
и её зависимость от времени (рис. 1.1):
. (1.6)
Вектор скорости точки
Скорость точки есть производная по времени от радиуса-вектора , определяющего её положение в пространстве. Скорость точки характеризует изменение её положения во времени:
(1.7)
где 
─ проекции вектора скорости 
на оси декартовой прямоугольной системы координат.
Модуль скорости вычисляют по выражению
. (1.8)
При естественном способе задания движения скорость определяется следующим образом:
, (1.9)
где 
─ единичный орт касательной к траектории, совпадающий по направлению с положительным направлением отсчета криволинейной координаты .
Вектор скорости направлен по касательной к траектории (рис. 1.2).
Вектор ускорения точки
Ускорение точки есть производная по времени от вектора скорости или вторая производная по времени от радиуса-вектора . Ускорение точки характеризует быстроту изменения скорости:
(1.10)
Модуль ускорения вычисляют по выражению
. (1.11)
При естественном способе задания движения ускорение определяется через его проекции на оси 
, начало которых находится в движущейся точке М (рис. 1.2):
─ ось, касательная к траектории движения в данной точке М и направленная в сторону возрастания криволинейной координаты (единичный орт );
─ ось, направленная вдоль главной нормали к траектории в сторону вогнутости траектории (единичный орт 
);
─ ось, образующая с и правую тройку (единичный орт 
).
Ускорение точки определяется как векторная сумма
(1.12)
где 
─ касательное и нормальное ускорения, которые в свою очередь равны:
(1.13)
, (1.14)
где 
─ радиус кривизны траектории в точке М.
Очевидно, что полное ускорение лежит в плоскости, содержащей орты и , которая называется соприкасающейся.
Модуль полного ускорения
. (1.15)
1.2. Простейшие движения твердого тела
В пространстве свободное твердое тело имеет шесть степеней свободы. В декартовой прямоугольной системе координат это могут бать: три линейных перемещения, определяющие движение некоторой точки тела в направлении координатных осей, и три угла поворота, характеризующие вращение тела вокруг этих осей. Набор параметров, с помощью которых задается движение твердого тела, выбирают из соображений удобства и простоты для каждого конкретного случая движения.
Поступательное движение
При поступательном движении во всякий момент времени любая прямая, проведенная в твердом теле, остается параллельной самой себе. При этом точки твердого тела движутся по эквидистантным в общем случае криволинейным траекториям, имеют одинаковые по модулю и направлению скорости и ускорения (рис. 1.3). Тело обладает тремя степенями свободы, поэтому для характеристики поступательного движения достаточно задать движение только одной его точки:
. (1.16)
Только при поступательном движении имеют смысл понятия «скорость тела», «ускорение тела», поскольку все точки тела движутся одинаково. В других случаях допустимо говорить только о скорости и ускорении точки твердого тела.
Вращательное движение
Вращением вокруг неподвижной оси называется такое движение твердого тела, при котором две его точки или две точки, неизменно связанные с твердым телом, остаются неподвижными. Прямая, проходящая через неподвижные точки, – ось вращения. Тело обладает одной степенью свободы. В качестве параметра, характеризующего движение тела, выбирается угол между двумя проходящими через ось вращения полуплоскостями — неподвижной и подвижной, вращающейся вместе с телом (рис. 1.4). Этот параметр называют углом поворота тела:
. (1.17)
Положительное направление угла 
отсчитывается против хода часовой стрелки, если смотреть из положительного направления координатной оси, проходящей через ось вращения (ось Оz на рис. 1.4).
Угловой скоростью тела, вращающегося вокруг неподвижной оси называется вектор, определяемый по выражению
, (1.18)
где 
─ единичный орт оси Oz. Вектор 
направлен вдоль оси вращения в ту сторону, откуда вращение видно против хода часовой стрелки.
Угловым ускорением тела, вращающегося вокруг неподвижной оси, называется вектор, определяемый по выражению
, (1.19)
положительное направление вектора 
выбираем так же, как и для вектора .
Линейная скорость точки тела, вращающегося вокруг неподвижной оси. Траектории точек вращающегося тела ‑ окружности, плоскости которых перпендикулярны оси вращения, а центры принадлежат этой оси. Используя естественный способ задания движения точки (поскольку траектория известна), модуль скорости точки M (рис. 1.5), отстоящей на расстояние от оси вращения, можно определить как
. (1.20)
Вектор скорости направлен по касательной к траектории точки в сторону её движения, следовательно, всегда перпендикулярен радиусу МО.
Линейное ускорение точки тела, вращающегося вокруг неподвижной оси, определяют по выражениям (1.12 – 1.15). С учетом (1.18), (1.19), формулы (1.13) и (1.14) могут быть преобразованы к следующему виду:
,
(1.21)
. (1.22)
Использование векторного способа задания движения позволяет получить векторные выражения для определения линейной скорости и ускорения точки тела, вращающегося вокруг неподвижной оси:
; (1.23)
; (1.24)
, (1.25)
где ─ радиус-вектор, проведенный из начала координат к исследуемой точке (см. рис. 1.5).
Плоское (плоскопараллельное) движение
Плоским называется движение твердого тела, при котором все точки тела перемещаются в плоскостях, параллельных некоторой неподвижной плоскости. Такое движение полностью определено, если задано движение плоской фигуры, являющейся сечением тела плоскостью, параллельной неподвижной. Плоское движение можно рассматривать как совокупность двух простейших движений ‑ поступательного вместе с произвольной точкой А (далее полюс) и вращательного вокруг этой точки. Поступательное движение определяется двумя абсолютными координатами полюса 
, вращательное ─ углом поворота подвижной системы координат 
, жестко связанной с телом, относительно системы координат 
, движущейся поступательно (рис. 1.6). Всего три степени свободы:
(1.26)
Положение произвольной точки В задается выражением
,
где 
─ радиус-вектор полюса А в неподвижной системе отсчета 
; 
─ радиус-вектор точки В в системе отсчета ; модуль ─ величина постоянная
Скорость точки тела, совершающего плоское движение, определяется как геометрическая сумма скорости полюса в неподвижной системе координат 
и скорости точки В в её вращении вокруг полюса А
(рис. 1.7):
. (1.27)
Скорость может быть определена из выражения (1.23):
, (1.28)
где 
─ радиус-вектор точки В в системе координат, движущейся поступательно относительно неподвижной системы отчета;
─ вектор угловой скорости вращения системы координат , направленный вдоль оси, перпендикулярной плоскости чертежа, в сторону, откуда вращение видно против хода часовой стрелки.
Вектор 
направлен перпендикулярно 
в сторону вращения тела.
Ускорение точки тела, совершающего плоское движение, определяется как геометрическая сумма ускорения полюса в неподвижной системе координат 
и ускорения точки В в её вращении вокруг полюса А 
:
, (1.29)
где 
, 
─ осестремительное и вращательное ускорение точки В в её движении вокруг А. В системе координат 
, движущейся поступательно, и можно вычислять так же, как нормальное и тангенциальное ускорения (
, 
) точки тела, вращающегося вокруг неподвижной оси
, (1.30)
где 
─ вектор углового ускорения тела.
Вектор направлен от точки В к А, т. е. как нормальное ускорение точки В во вращении вокруг А; вектор ─ перпендикулярно в сторону, определяемую угловым ускорением, т. е. как тангенциальное ускорение точки В во вращении вокруг А.
1.3. Сложное движение точки
Движение точки называется сложным, когда задача кинематики решается одновременно относительно двух систем координат ─ неподвижной (основной) и подвижной (вспомогательной) (рис.1.8). Кинематические характеристики (положение, скорость и ускорение точки), определенные в подвижной системе координат, называются относительными (
). Эти же характеристики в неподвижной системе отсчета называются абсолютными (
). Переносным называется движение подвижной системы координат относительно неподвижной. Сопоставляя вспомогательную систему с некоторым твердым телом, 
Вариант
, м
, м
, м
,
об/мин
, рад
Схема 1
1
0,5
0
0,8
100
2
0,5
0,2
0,8
80
3
0
0,5
0,6
90
4
-0,5
0
0,7
70
5
0,5
0
0,3
120
6
0,5
0,2
0,25
110
7
0
0,5
0,4
80
8
-0,5
0
0,4
60
К – центр масс кулисы
Вариант
,м
,м
,м
,м
,м
, об/мин
,
рад
Схема 2
1
1,4
0
0,4
1,3
1,6
100
2
0,2
0,2
0,2
0,4
0,3
80
3
-2,8
0
0,8
2,2
3,2
90
4
-0,5
0
0,4
1,3
1,6
70
5
0,5
0
0,2
0,4
0,3
120
6
0,5
0,2
0,8
2,2
3,2
110
7
0
0,5
0,4
1,3
1,6
80
8
-0,5
0
0,2
0,4
0,3
60
К – центр масс звена АВ
Схема 3
| Вариант |
|
| Уравнение неподвижной оси поступательной пары, м |
|
|
1 | 0,2 | 0,8 | y = - 0,1 | 100 |
| |
2 | 0,3 | 1,2 | y = - 0,05 | 80 |
| |
3 | 0,2 | 0,8 | y = 0,09 | 90 |
| |
4 | 0,4 | 1,5 | y = 0,025 | 70 |
| |
5 | 0,2 | 0,8 | x = - 0,1 | 120 |
| |
6 | 0,3 | 1,2 | x = - 0,05 | 110 |
| |
7 | 0,2 | 0,8 | x = 0,09 | 80 |
| |
8 | 0,4 | 1,5 | x = 0,025 | 60 |
| |
К – центр масс звена АВ |
Схема 4
| Вариант |
|
|
|
|
1 | 0,8 |
| 100 |
| |
2 | 1,2 |
| 80 |
| |
3 | 0,8 |
| 90 |
| |
4 | 1,5 |
| 70 |
| |
5 | 0,8 |
| 120 |
| |
6 | 1,2 |
| 110 |
| |
7 | 0,8 |
| 80 |
| |
8 | 1,5 |
| 60 |
| |
К – центр масс звена АO |
, радСхема 5
| Вариант | , м |
|
|
|
1 | 0,8 |
| 100 |
| |
2 | 1,2 |
| 80 |
| |
3 | 0,8 |
| 90 |
| |
4 | 1,5 |
| 70 |
| |
5 | 0,8 |
| 120 |
| |
6 | 1,2 |
| 110 |
| |
7 | 0,8 |
| 80 |
| |
8 | 1,5 |
| 60 |
| |
К – центр масс звена АO |
Вариант | , м |
|
|
рад | Схема 6
|
|
1 | 0,8 |
| 100 |
|
| |
2 | 1,2 |
| 80 |
|
| |
3 | 0,8 |
| 90 |
|
| |
4 | 1,5 |
| 70 |
|
| |
5 | 0,8 |
| 120 |
|
| |
6 | 1,2 |
| 110 |
|
| |
7 | 0,8 |
| 80 |
|
| |
8 | 1,5 |
| 60 |
|
| |
К – центр масс звена АO | ||||||
Вариант |
|
|
|
|
| Схема 7
|
1 | 0,5 | 0 | 0,8 | 100 |
| |
2 | 0,5 | 0,2 | 0,8 | 80 |
| |
3 | 0 | 0,5 | 0,6 | 90 |
| |
4 | - 0,5 | 0 | 0,7 | 70 |
| |
5 | 0,5 | 0 | 0,3 | 120 |
| |
6 | 0,5 | 0,2 | 0,25 | 110 |
| |
7 | 0 | 0,5 | 0,4 | 80 |
| |
8 | - 0,5 | 0 | 0,4 | 60 |
| |
К – центр масс звена АВ |
| |||||
вариант | , м |
| Уравнение неподвижной оси поступательной пары, м |
|
| Схема 8
|
1 | 0,8 |
| y = - 0,1 | 100 |
| |
2 | 1,2 |
| y = - 0,15 | 80 |
| |
3 | 0,8 |
| y = 0,09 | 90 |
| |
4 | 1,5 |
| y = 0,025 | 70 |
| |
5 | 0,8 |
| x = - 0,1 | 120 |
| |
6 | 1,2 |
| x = - 0,15 | 110 |
| |
7 | 0,8 |
| x = 0,09 | 80 |
| |
8 | 1,5 |
| x = 0,025 | 60 |
| |
К – центр масс звена АВ |
| |||||
Библиографический список
1. правочник по математике для научных работников и инженеров: Пер. с англ. – М.: Наука, 1968. – 833 с.
2. Артоболевский механизмов и машин: Учеб. для втузов. – М.: Наука, 1988. – 640 с.
3. Шебанов І. Г. Кінематичний синтез та аналіз авіаційних механізмів з використанням ПЕОМ: Навчальний посібник до курсового проектування та виконання домашніх завдань з теорії машин та механізмів. – Х.: Нац. аерокосмічний ун-т «Харк. авіац. ін-т», 2000. – 148 с.
Оглавление
1. Кинематика. Краткие сведения из курса теоретической механики. 3
1.1. Кинематика точки в абсолютной системе отсчета. 3
1.2. Простейшие движения твердого тела. 6
1.3. Сложное движение точки. 9
1.4. Вопросы для самоконтроля. 10
2. Кинематический анализ механизма аналитическим способом. Метод замкнутых контуров. 11
2.1. Кулисный механизм.. 12
2.2. Шарнирный четырехзвенник. 19
2.3. Кривошипно-ползунный механизм.. 23
2.4. Выводы.. 27
Приложение 1. 28
Приложение 2. 29
Каталог домашних заданий. 31
Библиографический список. 34
Техническая механика
Кинематический анализ плоских рычажных механизмов
Редактор
Св. план, 2005
Подписано в печать
Формат 60х80 1/16. Бум. офс. №2. Офс. печ.
Усл. печ. л. 2. Уч. – изд. л. 2,25 Т. 150 экз. Заказ. Цена свободная
___________________________________________________________
Национальный аэрокосмический университет им.
«Харьковский авиационный институт»
61070, Харьков-70, ул.
http://www/khai. edu
Издательский центр «ХАИ»
61070, Харьков-70, ул.
*****@***edu
