Решения (стр. 2 )

В задаче 1.2.2 эти идеи применяются к движению лодки по и против течения. Из закона сложения скоростей заключаем, что при движении лодки по течению ее скорость относительно земли равна , при движении против течения - (– скорость лодки в стоячей воде, – скорость течения). Отсюда находим, что при движении лодки по течению, ее скорость относительно земли  км/ч, а при движении против течения – км/ч. Поэтому время движения между городами А и В по течению втрое больше времени движения лодки между этими городами против течения (ответ – 2).

Все следующие задачи этой главы являются более сложными, поскольку в них рассматривается движение не одного, а двух тел, а закон сложения скоростей используется в случаях, когда векторы скоростей не направлены вдоль одной прямой. В задаче 1.2.3 встреча тел происходит в такой точке, что расстояния, пройденные первым и вторым телом, отличаются втрое (так как в три раза отличаются скорости тел). Поэтому при выходе из точки А тела встретятся в такой точке В, что длины дуг АВ отличаются в три раза. Следовательно, угол АОВ – прямой, и длина отрезка АВ равна . (ответ 4).

Если два тела, начав движение одновременно, движутся навстречу друг другу (задача 1.2.4), то время встречи тел можно найти следующим образом. Так как тела двигались до встречи одинаковое время, они прошли расстояния и , сумма которых равна первоначальному расстоянию между телами . Поэтому (ответ 2). Отметим, что данные в условии задачи ответы 3 и 4 имеют неправильную размерность – 1/с и потому могут быть отброшены сразу.

Задача 1.2.5 решается с помощью таких соображений: время движения первого пешехода между городами , второго – , встречи пешеходов (см. предыдущую задачу). Отсюда

.

Сокращая в этой формуле величину , получаем

,

или ч (правильный ответ – 1).

В задаче 1.2.6 начальное и конечное положения вагона и человека показаны на правой и левой частях рисунка.

Отсюда заключаем, что разность перемещений вагона и человека равна длине вагона . Поэтому время, через которое провожающий окажется около конца вагона, определяется из соотношения . Из этой формулы находится время, а затем и расстояние, пройденное провожающим (ответ 1). Отметим, что ответы 3 и 4 могли быть отброшены сразу, поскольку не описывают случай одинаковых скоростей. Действительно, при одинаковых скоростях вагон никогда не обгонит провожающего, и расстояние, пройденное при «обгоне» провожающим, должно обратиться в бесконечность. Другими словами, ответ должен содержать нуль в знаменателе при .

Задача 1.2.7 посвящена вычислению средней скорости движения на некотором пути, которая определяется как отношение этого пути к затраченному времени. Если расстояние между городами А и В равно , то полное время движения между городами складывается из времен, затраченных на первую и вторую половины пути

.

Отсюда находим км/ч (правильный ответ – 3).

В задачах 1.2.8-1.2.9 закон сложения скоростей рассматривается в ситуациях, когда векторы , и направлены не вдоль одной прямой. В этом случае необходимо использовать закон сложения скоростей в векторной форме (1.3). Когда человек в поезде идет перпендикулярно направлению его движения (задача 1.2.8), треугольник сложения скоростей (1.3) имеет вид, показанный на рисунке.

Здесь – вектор скорости поезда относительно земли, – вектор скорости человека относительно поезда, который по условию направлен перпендикулярно вектору . Поэтому согласно закону сложения скоростей вектор скорости человека относительно земли представляет собой гипотенузу прямоугольного треугольника, катетами которого являются векторы и (см. рисунок). Следовательно, величину скорости человека относительно земли можно найти по теореме Пифагора (ответ 3).

Задачи 1.2.9. и 1.2.10 удобнее решать, переходя из той системы отсчета, в которой задача поставлена (в системе отсчета, связанной с землей) в некоторую другую систему, в которой рассматриваемое явление является более простым. При переправе через реку (задача 1.2.9) скорость лодки относительно земли зависит от траектории – на траекториях, направленных под острыми углами к течению, скорость лодки больше, чем на траекториях, на которых угол между скоростью лодки и скоростью течения – тупой. Поэтому время переправы по самой короткой траектории (перпендикулярной берегам) не является минимальным. Траекторию с минимальным временем переправы легко найти в системе отсчета, связанной с водой. В этой системе отсчета вода покоится, и, следовательно, минимальное время переправы достигается на такой траектории, на которой вектор скорости лодки относительно воды перпендикулярен берегам реки. Поэтому вектор скорости лодки относительно земли на этой траектории наклонен под углом к течению (см. рисунок). Под таким углом к берегу и расположена траектория, на переправу по которой лодка затрачивает минимальное время (правильный ответ – 1).

В задаче 1.2.10 рассматривается движение трех тел. В системе отсчета, связанной с землей ответ неочевиден. Быстрый катер дольше уплывет от лодки, но будет двигаться быстрее и при обратном движении, медленный – наоборот. Однако если перейти в систему отсчета, связанную с водой, решение очень несложно. В этой системе отсчета плот покоится, каждый катер при движении от плота и к плоту движется с одинаковой скоростью. Поэтому каждый катер вернется к плоту через то же самое время после разворота, в течение которого он двигался от плота. Следовательно, катера вернутся одновременно (ответ 3).

Глава 2. Ускорение. Равноускоренное движение

Характеристикой изменения скорости является ускорение. Эта величина определяется как отношение изменения скорости тела к тому интервалу времени, за который это изменение произошло

, (2.1)

где и – скорости тела в конце и начале интервала времени . Из определения (2.1) следует, что вектор ускорения тела отличен от нуля только в том в случае, когда изменяется вектор скорости. При этом направление вектора определяется направлением разности , и может не совпадать с направлениями векторов и . Поэтому в задаче 2.1.1 ситуации, перечисленные в ответах 1, 3 и 4, возможны в следующих случаях. В 1 – когда тело, поворачивая на восток, в некоторый момент времени имеет вектор скорости, направленный на север. В 3 – при равноускоренном движении. В 4 – например, в такой ситуации: тело бросили вертикально вверх и в верхней точке траектории оно имеет нулевую скорость и ускорение, равное ускорению свободного падения. Ситуация, сформулированная в ответе 2, невозможна: если у тела постоянная скорость, то у него равное нулю и, следовательно, постоянное ускорение.