Решения (стр. 3 )

В задаче 2.1.2 вектор скорости в конце любого интервала времени меньше вектора скорости в начале этого интервала. Поэтому при направлении вектора скорости на юг вектор изменения скорости, а, следовательно, и вектор ускорения направлены на север (ответ 3).

Если тело движется с постоянной скоростью, координата линейно зависит от времени, причем наклон графика определяется скоростью. Поэтому скорость тела уменьшается, если уменьшается угол наклона графика зависимости координаты от времени к оси времени (задача 2.1.3 – ответ 4).

Движение тела, при котором его ускорение (как величина, так и направление) не изменяется, называется равноускоренным (задача 2.1.4 – ответ 4). Из определения ускорения (2.1) следует, что при равноускоренном движении зависимость скорости от времени является линейной. Поэтому равноускоренному движению в задаче 2.1.5 отвечает график 1 (несмотря на то, что скорость тела убывает). В этой связи отметим, что равноускоренность означает не то, что тело постоянно разгоняется, а то, что оно имеет «равное ускорение».

При равноускоренном движении зависимости радиус-вектора тела по отношению к произвольной системе координат и скорости тела от времени даются соотношениями

, (2.2)

, (2.3)

где и – радиус-вектор и скорость тела в момент времени , – ускорение тела. После проецирования на оси координат зависимости (2.2) и (2.3) позволяют находить координаты тела и проекции его скорости на оси в любые моменты времени.

В задаче 2.1.6 зависимость (2.2) в проекциях на ось , которая направлена параллельно ускорению и начало которой находится в точке начала движения, дает

.

Поскольку тело движется из начала координат и только в одну сторону, то, очевидно, координата тела совпадает с пройденным путем. Поэтому при ускорении м/с2. через с после начала движения пройденный путь будет равен м (ответ 2). Из этого результата следует, что задача 2.1.7 является обратной по отношению к задаче 2.1.6, поэтому правильный ответ для времени, за которое тело пройдет путь м – с (ответ 1).

В задаче 2.1.8 необходимо использовать зависимость (2.3) для скорости. Так как по условию автомобиль движется из состояния покоя, проекция зависимости (2.3) на ось , направленную вдоль вектора ускорения, имеет вид

,

где – проекция вектора скорости тела на ось . Так как  м/с в момент времени с, находим м/с2 (правильный ответ – 2).

Сравнивая данную в задаче 2.1.9 зависимость координаты от времени с законом (2.2), заключаем, что начальная скорость тела м/с, проекция ускорения тела на ось – м/с2. Поэтому из (2.3) получаем зависимость скорости тела от времени . Из этой зависимости следует, что скорость тела равна нулю при с (правильный ответ 2). Можно было также найти скорость как производную координаты по времени. Дифференцируя данную в условии функцию, получим тот же ответ

.

Зависимость проекции скорости от времени на ось, направленную вертикально вверх, для тела из задачи 2.1.10 имеет вид

,

где м/с – начальная скорость тела. Подставляя в эту формулу время с, находим скорость тела через с после броска м/с (ответ 3). Знак «плюс» для проекции скорости на рассматриваемую ось показывает, что через с после броска вектор скорости тела все еще направлен вверх.

Чтобы найти время подъема тела, брошенного вертикально вверх, на максимальную высоту (задача 2.2.1) используем то обстоятельство, что в верхней точке траектории скорость тела равна нулю. Поэтому подстановка времени подъема t в зависимость скорости от времени дает

,

где – начальная скорость тела. Отсюда получаем для времени подъема с (ответ 4). А самую максимальную высоту подъема (задача 2.2.2) можно найти, подставляя найденное время подъема в зависимость координаты тела по вертикальной оси от времени

.

Подстановка в эту формулу числовых значений дает м (ответ 1).

Пусть время, затраченное телом на прохождение участка пути длиной , отсчитанного от начальной точки, равно , а время, затраченное телом на прохождение участка пути длиной , отсчитанного от этой же точки, равно (задача 2.2.3). Тогда из уравнения движения (2.2) в проекции на ось, направленную вдоль вектора ускорения тела, имеем

, .

Деля первое уравнение на второе и извлекая из этого отношения квадратный корень, находим

,

что означает, что время прохождения пути меньше времени прохождения пути в раз (ответ 2).

В некоторых ситуациях приходится применять одновременно обе зависимости – и координаты и скорости. Например, в задаче 2.2.4 зависимости координаты тела по вертикальной оси и проекции скорости на эту ось имеют вид

,

.

Из первой зависимости находим время, за которое тело поднимается на высоту м

.

(Два корня для времени получилось, поскольку на рассматриваемой высоте тело побывало дважды – в процессе подъема и в процессе спуска.) Подставляя эти значения времени в уравнение для скорости, получим для проекции скорости на вертикальную ось на высоте :

(«плюс» – на подъеме, «минус» – на спуске). Отсюда находим величину скорости тела на этой высоте – м/с (ответ 3).