Учебно-методический комплекс по дисциплине Прикладной анализ временных рядов (стр. 3 )

Способы описания детерминирующей составляющей dt зависят от области приложения. Чаще всего выделяют три компоненты: тренд trt, сезонная компонента st , циклическая компонента ct. Для аддитивной модели получаем:

dt = trt + st + ct при t = 1, 2, …, n.

Иногда, чтобы учесть существенное кратковременное воздействие, добавляют еще одну компоненту, именуемую интервенцией.

Тренд trt – это, как правило, монотонная функция, описывающая влияние долговременных факторов, эффект которых сказывается постепенно, основная тенденция изменения временных данных.

Сезонная компонента st описывает поведение, изменяющееся регулярно в течение заданного периода и состоит из последовательности повторяющихся циклов.

Циклическая компонента ct занимает промежуточное положение между детерминированной и случайно составляющей и состоит из циклов, которые меняются по амплитуде и протяженности.

Наиболее часто используются следующие модели тренда:

·  линейная trt = b0 + b1*t;

·  полиномиальная trt = b0 + b1*t + b2*t2 + … + br*tr;

·  логарифмическая;

·  логистическая;

·  Гомперца.

Для моделирования временных рядов, возникающих во многих технических приложениях, часто применяют полигармоническую модель dt = a*cos(b*t + c).

Для того, чтобы одновременно оценить тренд и циклическую компоненту, широко применяют линейные параметрические модели типа авторегрессии – скользящего среднего.

Для моделирования нерегулярной составляющей et используют понятие случайного (стохастического) процесса. Считается, что случайный процесс полностью определен, если известна функция распределения величины et. Важными примерами моделей случайных процессов являются:

·  гауссовские (нормальные) процессы;

·  белый шум;

·  процессы скользящего среднего (MA – moving average);

·  процессы авторегрессии (AR – autoregression);

·  марковские процессы;

·  стационарные прцессы.

Числовыми характеристиками случайной составляющей временных рядов являются:

·  математическое ожидание;

·  ковариация;

·  корреляция;

·  автокорреляционная функция.

На практике широко применяется метод скользящего среднего. Метод скользящего среднего основан на переходе от исходных значений ряда к их средним значениям на интервале времени (окне), длина которого выбрана заранее, при этом окно скользит вдоль ряда. Информационная технология пакета анализа Excel позволяет эффективно реализовывать указанный метод.

Задание. Провести анализ временного ряда данных о числе родившихся. Получить прогноз на 1998 г. по данным 1994-1997 гг. и сравнить с реальными данными.

Технология работы

Проведем анализ данных за 1994-1997 гг. Данный временной промежуток охватывает 48 месяцев. Пронумеруем их в порядке возрастания и будем строить прогноз на 49, 50,…, 58 месяцы. Выполнение задания разобьем на ряд технологических этапов.

Таблица

Данные о числе родившихся с января 1994 г. по октябрь 1998 г.

(тыс. человек)

Месяц / год	1994	1995	1996	1997	1998
январь	394	372	290	220	205
февраль	434	388	317	243	226
март	535	461	375	334	267
апрель	576	528	412	382	324
май	644	572	483	464	370
июнь	761	743	597	603	436
июль	870	818	630	522	477
август	616	684	552	493	442
сентябрь	486	445	387	376	312
октябрь	395	348	272	267	199
ноябрь	300	247	199	182
декабрь	311	263	203	191

1 этап. Построение и изучение графика.

По оси oX будем откладывать месяцы, по оси oY – тыс. человек родившихся. Данные по годам (1994-1997) последовательно расположите в виде одного столбца. Присвойте построенному массиву имя Исх_дан (xt). Для этого достаточно выделить столбец и в поле имен вписать требу-емое имя. Рабочий лист, на котором расположены данные, переименуйте в Тренд.

Построения диаграммы с помощью Мастера диаграмм состоит из 4-х шагов. Последовательно нажмите Вставка, Диаграмма…. Выполните Шаг 1, выбрав тип и подтип диаграммы, после выбора щелкните кнопку Далее.

Выполните Шаг 2, выбор и уточнение диапазона данных и ряда. Выберите вкладку Ряд и щелкните на кнопке Добавить. Выделите Ряд1 в списке и используйте поле Имя для ввода подписи выделенного ряда, например Исх_дан. Используйте поле Значения для ввода диапазона ячеек, содержащего данные. Ввести данные можно с помощью кнопки свернуть/развернуть и выделения на рабочем листе диапазона ячеек с данными, либо непосредственно в поле значений набрать =Тренд! Исх_дан. Поле Подписи оси X в данном случае можно не заполнять, здесь автоматически будут вставлены номера текущих месяцев, соответствующие введенным данным. После проверки и изменения всех необходимых данных щелкните кнопку Далее.

Выполните Шаг 3, настройка диаграммы. Введите название диаграммы, линии сетки, подписи по оси X и оси Y, легенду и т. п. Осуществив необходимые настройки, щелкните кнопку Далее.

Выполните Шаг 4, выбор месторасположения диаграммы. Выберите на отдельном листе.

С помощью команды меню Диаграмма можно производить модификацию построенной диаграммы.

Добейтесь, чтобы диаграмма выглядела, как диаграмма № 1.

Визуальный анализ построенного графика позволяет утверждать, что:

·  имеется тенденция к уменьшению числа родившихся (линейный тренд с отрицательным углом наклона), обусловленная, по-видимому, негативными изменениями социальной ситуации;

·  имеются сильные сезонные колебания с максимумом в летние месяцы и минимумом – в зимние;

Предварительный графический анализ ряда задает направление дальнейшего исследования.

Диаграмма №1

2 этап. Выделение тренда.

Мастер диаграмм пакета Excel позволяет строить некоторые виды трендов непосредственно на диаграмме.

Для вставки линии тренда в диаграмму выполните следующие действия:

·  щелкните правой кнопкой мыши на графике;

·  выберите команду Добавить линию тренда из контекстного меню. На экране появится диалоговое меню Линия тренда.

·  Выберите тип регрессии – Линейная.

·  убедитесь, что ряд, для которого необходимо построить тренд, выделен в списке Построен на ряде.

·  переключитесь на вкладку Параметры;

·  введите название линии тренда;

·  установите Прогноз вперед на 12 месяцев;

·  отметьте флажок Показывать уравнение на диаграмме.

Полученный вид сравните с Диаграммой №1.

Для построения таблицы значений линейного тренда используйте функцию ТЕНДЕНЦИЯ (известные_зна-чения_у; известные_значения_х;новые_значения_х; конст).Данная функция аппроксимирует прямой линией, по методу наименьших квадратов, массивы известные_значения_у и известные _значения_х и возвращает предсказанные значения для заданного массива новые_значения_х. Если опущены известные_значения_х, предполагается использование массива {1;2;3;...} такого же размера, что и известные_значения_у. В нашем случае в качестве известные_значения_у используйте массив Исх_дан, для новые_значения_х создайте массив чисел {1,2,3,…,58} и назовите его, например, м_м. Для получения нужного результата выделите столбец, содержащий 58 ячеек, в строке формул введите =ТЕНДЕНЦИЯ(Исх_дан;;м_м;) и нажмите Ctrl+Shift+Enter. Полученному столбцу присвойте имя Тренд (trt).

Подобранная модель тренда описывает общую тенденцию поведения ряда. Сделать на базе этой модели достаточно точный прогноз ежемесячного числа родившихся на 1998 г. нельзя в силу большой сезонной (годовой) изменчивости ряда. Для построения месячного прогноза необходимо оценить сезонные эффекты, или сезонные индексы.