Предельные теоремы теории вероятности (стр. 2 )

Однако, неравенство (4.4) может быть доказано и без помощи теоремы 3. Введем в рассмотрение сл. величину . Тогда Но Следовательно, и

Неравенство (4.4) следует применять, когда , иначе оно дает тривиальную оценку.

Пример 1. Пусть сл. величина x имеет плотность распределения . Тогда Mx==0 (интеграл от нечетной функции по симметричному множеству), (нтегрировали по частям).

Оценим при e=1,2, 5, 10. Получим

. Прямое вычисление величин при заданных значениях ε дает выражения ,

.

Видим, что неравенство Чебышева дает довольно грубые оценки вероятностей. Однако неравенство Чебышева является родоначальником многих других неравенств, широко применяемых в теории вероятностей.

4.4. ТИПЫ СХОДИМОСТИ

Пусть дана некоторая последовательность сл. величин и сл. величина x.

Определение. Говорят, что последовательность сл. величин сходится к сл. величине x почти наверное (с вероятностью 1), если Обозначение: или

Иначе говоря, равенство означает, что множество тех w, для которых последовательность имеет вероятностную меру 0.

Определение. Говорят, что последовательность сл. величин сходится к сл. величине x по вероятности, если . Обозначение: или

В отличие от предыдущего случая сходимость по вероятности означает, что существуют множества значений ω ненулевой вероятности, для которых не имеет пределом при n→∞.

Эти два вида сходимости связаны между собой: из сходимости почти наверное следует сходимость по вероятности. Обратное утверждение не имеет места, но если последовательность , то любая её подпоследовательность содержит другую подпоследовательность, сходящуюся по вероятности 1 [3].

Определение. Говорят, что последовательность сл. величин сходится к сл. величине x в среднем порядка p, если .

В анализе этот вид сходимости называют сходимостью в смысле . Поэтому обозначают этот вид сходимости так: .

При p = 2 сходимость называют сходимостью в среднем квадратическом, обозначают это так: (от limit in the mean) или .

Определение. Пусть сл. величины имеют функции распределения , а сл. величина x – F(x). Говорят, что последовательность сл. величин сходится по распределению к сл. величине x, если во всех точках непрерывности функции F. Обозначение:

Говорят ещё в этом случае, что последовательность функций распределения слабо сходится к функции распределения : .

Соотношения между различными типами сходимости представлены ниже в виде схемы:

4.5. ЗАКОН БОЛЬШИХ ЧИСЕЛ

Так называются теоремы, дающие условия, при которых арифметическое среднее сл. величин по вероятности сходится к арифметическому среднему их математических ожиданий:

Теорема 4 (закон больших чисел). Если последовательность независимых одинаково распределенных сл. величин такова, что то

.

Доказательство. Заметим прежде всего, что все одинаково распределены, потому у них у всех одно и то же математическое ожидание и одна и та же дисперсия. Теорему докажем опираясь на теорему 1. Доказываемый предел можно переписать в виде . Воспользуемся неравенством Чебышева: , так как конечная сумма независимых сл. величин, умноженная на число , есть сл. величина с математическим ожиданием и дисперсией

.

Замечание. Теорема 4 имеет место и без требования существования конечных дисперсий. Просто доказательство её будет иным.

Теорема 5. Если последовательность независимых сл. величин такова, что существуют и , то .

Это тоже закон больших чисел, но для произвольной последовательности сл. величин, произвольной в том смысле, что не утверждается одинаковое распределение всех сл. величин.

Доказательство. По неравенству Чебышева (4.4) имеем , т. к.

По теореме Штольца

(по условию). Теорема доказана.

В основе этой теоремы лежит известная теорема (1880 г.):

Пусть последовательность попарно независимых сл. величин имеет математические ожидания и дисперсии , ограниченные в совокупности числом В, то есть , к=1,2,3,… Тогда .