Предельные теоремы теории вероятности (стр. 1 )

IV. ПРЕДЕЛЬНЫЕ ТЕОРЕМЫ ТЕОРИИ ВЕРОЯТНОСТИ

4.1 ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ НЕЗАВИСИМЫХ СОБЫТИЙ

Рассмотрим некоторое вероятностное пространство (Ω, F, P). Будем говорить, что события независимы, если для всех m, , и всех .

Будем говорить, что события образуют последовательность независимых событий, если для любых n события независимы.

Если – последовательность независимых событий, то последовательность где или , также является последовательностью независимых событий.

С каждой последовательностью событий можно связать события

и (4.1)

Первое из событий (4.1) означает, что для любого n осуществляется хотя бы одно из событий , k = n, n+1,… т. е. событие осуществляется тогда и только тогда, когда происходит бесконечное число из событий .

Второе из событий (4.1) означает, что существует такое число n, что осуществляются все события , k = n, n+1,… т. е. событие происходит тогда и только тогда, когда не происходит лишь конечное число из событий .

Теорема 1 (Бореля - Кантелли). Если – последовательность независимых событий, то:

Доказательство. Первый случай. Из определения верхнего предела последовательности следует соотношение . Тогда согласно свойствам Р3, Р8 вероятностей событий получим соотношения 0 при , как остаток сходящегося ряда.

Второй случай. Перейдем к событию Вычислим вероятность ≤

Отсюда 1–→1, при n→ ∞. Далее, , следовательно, →1, при n→ ∞. Так как то

В чем смысл доказанной теоремы? Для независимых событий событие может иметь вероятность 0 или 1. В первом случае это означает что с вероятностью 1 происходит лишь конечное число из событий ; во втором – с вероятностью 1 происходит бесконечное множество событий из .

Замечание. Первый случай теоремы справедлив для любой последовательности событий (необязательно независимых).

4.2. ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТЬ НЕЗАВИСИМЫХ ВЕЛИЧИН

Пусть – последовательность независимых сл. величин. Это значит, что и любых чисел события независимы.

Замечание. Следует помнить, что когда мы говорим пусть x – сл. величина или пусть – последовательность сл. величин, то полагаем, что существует некоторое вероятностное пространство (W, F, P), на котором эта сл. величина x или эти сл. величины заданы.

Приведем некоторые признаки независимости сл. величин.

Теорема 2. Для того чтобы сл. величины были независимы необходимо, чтобы для любых ограниченных борелевских функций

= (4.2) и достаточно, чтобы равенство (4.2) выполнялось для непрерывных ограниченных функий.

Борелевскими называются функции, измеримые относительно s– алгебры борелевских множеств.

Следствие 1. Если – независимые сл. величины и , существуют, то существует и .

Следствие 2. Если – независимые сл. величины и , то – не коррелированны.

Следствие 3. Если – независимые сл. величины и то

Результаты следствий нам уже известны, они приведены в соответствующих свойствах математичского ожидания и дисперсии.

4.3.  НЕРАВЕНСТВО ЧЕБЫШЕВА

Теорема 3. Пусть x– с вероятностью 1 неотрицательная сл. величина, имеющая конечное математическое ожидание. Тогда

(4.3)

Доказательство. Введем в рассмотрение событие . Для него индикаторная функция имеет вид: . Согласно свойству М8 математического ожидания . Рассмотрим теперь очевидное неравенство любое положительное число. Тогда или или .

Доказанное неравенство известно под названием неравенства Чебышева.

Следствие. Для произвольной сл. величины x, имеющей дисперсию Dx,

(4.4)

Именно это неравенство известно широкому кругу читателей под названием неравенства Чебышева. Оно получается из теоремы 3, если в качестве неотрицательной сл. величины взять

Неравенство эквивалентно неравенству . Поэтому .