Предельные теоремы теории вероятности (стр. 4 )

Теорема 10 (центральная предельная теорема). Пусть – последовательность независимых одинаково распределенных сл. величин с и Тогда

, (4.6)

где Ф(x) – функция нормального стандартного распределения.

Доказательство. Функция – непрерывная, сходимость к ней последовательности функций распределения сл. величин является сходимостью по распределению сл. величин к сл. величине ξ. Следовательно, мы можем воспользоваться теоремой 9. Обозначим через характеристическую функцию сл. величины , n=1, 2, … , а через –характеристическую функцию сл. величины Воспользуемся свойствами 6 и 7 характеристических функций:

По свойству 5 характеристических функций дифференцируема дважды, тогда функцию можно разложить в ряд Маклорена:

Но тогда:

Следовательно, при Но – характеристическая функция стандартного нормального распределения. Теорема доказана.

Пример 3. Рассмотрим в качестве – число наступлений некоторого события в серии из n независимых испытаний, в каждом из которых событие наступает с вероятностью р и не наступает с вероятностью q=1–p. Тогда по теореме 10 для функций распределения F(x) нормированного отклонения от среднего числа наступления события – сл. величины имеет место соотношение .

Это сформулированная нами ранее теорема Муавра- Лапласа.

Теорема 11 (Линдеберга). Пусть – последовательность независимых сл. величин, для которых существуют Если для всякого выполняется условие:

(4.7)

где то справедливо утверждение

Доказательство. Действительно, не ограничивая общности рассуждений, будем полагать, что Положим Характеристическая функция сл. величины имеет вид где – характеристическая функция сл. величины Имеем

Значит,

Смысл условия Линдеберга (неравенства 4.7) состоит в следующем. Обозначим за событие

так как событие имеет место при и

Таким образом, можно сказать, что смысл условия Линдеберга заключается в равномерной по малости слагаемых , то есть среди нет таких, которые преимущественно определяли бы величину

Следствием теоремы 11 является теорема Ляпунова (она появилась раньше, чем теорема Линдеберга).

Теорема 12 (Ляпунова). Если – последовательность независимых сл. величин, для которых существуют и и при некотором справедливо равенство Если существует где то имеет место утверждение

Доказательство. Покажем, что для последовательности в условиях теоремы выполняются условия Линдеберга:

Следовательно, теорема Ляпунова справедлива, при этом условие Ляпунова для проверки легче, чем условие Линдеберга.

Следствие. Если – последовательность независимых одинаково распределенных сл. величин с , то В этом случае

Исключительная важность центральной предельной теоремы объясняется тем, что она дает теоретическое обоснование следующему многократно подтвержденному практикой наблюдению: если исход сл. эксперимента определяется большим числом случайных факторов, влияние каждого из которых в отдельности пренебрежимо мало, то такой эксперимент хорошо аппроксимируется нормальным распределением с соответствующим образом подобранными математическим ожиданием и дисперсией.

КОНТРОЛЬНЫЕ ВОПРОСЫ

1. Напишите 1-е и 2-е неравенства Чебышева.

2. Сформулируйте законы больших чисел.

3. Дайте определения всех известных Вам видов сходимости.

4. Сформулируйте усиленный закон больших чисел.

5. Сформулируйте все известные Вам центральные предельные теоремы.

6. Как вывести интегральную теорему Муавра – Лапласа из центральной предельной теоремы?

ЗАДАЧИ

181. Пусть – независимые одинаково распределенные сл. величины, Известно, что при . Найти .