ПРОГРАММА ЭКЗАМЕНА ПО КУРСУ
"Высшая математика (теория вероятностей и мат. статистика)"
для студентов 2 курса дневного отделения экономфака (специальность "Менеджмент организаций")
2009-2010 учебный год, 2-й семестр, преподаватель – доцент
ЛИТЕРАТУРА
1. Общий курс высшей математики для экономистов. Под ред. . М.: ИНФРА-М, 2000.
2. Сборник задач по высшей математике для экономистов. Под ред. . М.: ИНФРА-М, 2001.
4 Гмурман вероятностей и математическая статистика. М.: Высшая школа, 1977 или любое позднее издание.
5 Гмурман к решению задач по теории вероятностей и математической статистике. М., Высшая школа, 1977 или любое более позднее издание.
6 Луценко по теории вероятностей. Ростов-на-Дону, 1998 (2003).
уровень «3»
ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ ВОПРОСЫ (все без доказательства)
1. Перестановки, сочетания и размещения (определение и примеры).
2. События (достоверные, невозможные, случайные, несовместные).
3. Классическое определение вероятности, свойства вероятности.
4. Произведение событий, условная вероятность, зависимые события, теорема умножения. Независимые события и вероятность их произведения.
5. Сумма и произведение событий. Формулировки теорем сложения для несовместных и совместных событий (с соответствующими определениями, включая следствия).
6. Полная группа событий, противоположные события, вероятности событий полной группы и противоположных событий.
7. Формула полной вероятности и формула Байеса.
8. Формула Бернулли и формула Пуассона. (с описанием ситуации, в которых они применяются).
9. Локальная теорема Лапласа, функция j(x) и ее свойства.
10. Интегральная теорема Лапласа, функция F(x) и ее свойства.
11. Независимые и взаимно независимые случайные величины.
12. Дискретные случайные величины, закон распределения, функция распределения, многоугольник распределения
13. Определения и основные свойства математического ожидания и дисперсии (перечислять, уметь применить).
14. Определение, формула для вычисления и основные свойства дисперсии (перечислять, уметь применить), среднее квадратическое отклонение.
15. Непрерывная случайная величина (НСВ), ее функция распределения (понятие и основные свойства).
16. НСВ, ее плотность распределения (понятие, связь с функцией распределения, основные свойства).
17. Равномерное распределение (постановка задачи, плотность распределения, функция распределения, математическое ожидание и дисперсия).
18. Экспоненциальное распределение (плотность распределения, функция распределения, математическое ожидание и дисперсия).
19. Нормальное распределение (плотность распределения, математическое ожидание и дисперсия).
20. Вероятность попадания нормально распределенной НСВ в числовой интервал, вероятность того, что отклонение нормально распределенной НСВ от ее математического ожидания по модулю меньше заданного числа.
21. Определения генеральной совокупности, выборки, повторной, бесповторной, репрезентативной выборки.
22. Вариационный и интервальный вариационный ряд, понятие вариант, частот, относительных частот, полигона частот и относительных частот, гистограммы частот и относительныхчастот.
23. Эмпирическая и теоретическая функции распределения и связь между ними.
24. Определения несмещенных, смещенных, эффективных, состоятельных оценок.
25. Среднее выборочное и его несмещенность, выборочная дисперсия и ее смещенность, несмещенная выборочная дисперсия, среднее квадратическое и исправленное среднее квадратическое
26. Теоретические моменты (определения начальных моментов к-го порядка, центральных моментов
к-го порядка, примеры из числовых характеристик случайных величин), суть метода моментов.
27. Доверительная вероятность (надежность), доверительный интервал. Определение доверительного интервала для оценки математического ожидания при нормальном распределении при известной и неизвестной генеральной дисперсии.
28. Доверительная вероятность (надежность), доверительный интервал. Определение доверительного интервала для оценки среднего квадратического отклонения при нормальном распределении
29. Определение статистических гипотез, нулевой и конкурирующей гипотез, ошибок 1-го и 2-го рода.
30. Понятия статистического критерия, критической области, области принятия решения, критических точек и уровня значимости, неравенства для поиска критических точек.
ПРАКТИЧЕСКИЕ ЗАДАНИЯ
- задачи на применение утверждений и формул вопросов 1-10, 17-120;
- составление законов распределения ДСВ, вычисление их числовых характеристик (математического ожидания, дисперсии, среднего квадратического отклонения), построение многоугольника распределения и функции распределения;
- вычисление числовых характеристик НСВ, определение плотности распределения по известной функции распределения и функции распределения по известной плотности; использование свойства плотности для определения параметров закона распределения ;
- определение вероятности попадания значения НСВ в заданный числовой интервал (для произвольного закона по общей формуле, а также для равномерного, экспоненциального и нормального распределений);
- для дискретного вариационного ряда построение полигона частот (относительных частот), вычисление точечных оценок (выборочного среднего, выборочной дисперсии и несмещенной дисперсии, выборочного среднего квадратического отклонения и исправленного среднего квадратического отклонения);
- для интервального вариационного ряда, построение гистограммы частот (относительных частот), вычисление точечных оценок (выборочного среднего, выборочной дисперсии и несмещенной дисперсии, выборочного среднего квадратического отклонения и исправленного среднего квадратического отклонения);
- применение метода моментов для оценки параметров распределения генеральной совокупности;
- определение доверительного интервала для оценки математического ожидания при нормальном распределении.
уровень «4» и «5»
(если нет положительной оценки по семестру – то дополнительно к основной части)
1. Теорема сложения вероятностей для совместных событий (с доказательством).
2. Биномиальный закон распределения (постановка задачи, общие формулы, проверка свойства вероятностей, построение закона распределения в конкретных случаях, вывод формул для определения математического ожидания и дисперсии).
3. Геометрический закон распределения (постановка задачи, общие формулы, проверка свойства вероятности, построение закона распределения в конкретных случаях).
4. Гипергеометрический закон распределения (постановка задачи, общие формулы, построение закона распределения в конкретных случаях).
5. Независимые случайные величины, их сумма и произведение, доказательство теорем о M(X+Y), M(XY).
6. Определение дисперсии, вывод формулы для ее вычисления.
7. Свойства дисперсии и математического ожидания (с доказательствами), их применение.
8. Теоретические моменты (определения начального момента k-го порядка, центрального момента k-го порядка, вывод формул для вычислений центральных моментов 2-го и 3-го порядков через начальные моменты и проведение вычислений).
9. Непрерывная случайная величина, функция распределения, плотность распределения и их свойства (с доказательствами)
10. Вывод формул для вычисления математического ожидания и дисперсии для равномерного закона распределения.
11. Вероятность того, что отклонение нормально распределенной НСВ от ее математического ожидания по абсолютной величине меньше заданного числа (с выводом) и правило трех сигм, применение формул.
12. Практическое определение доверительного интервала для оценки математического ожидания при нормальном распределении при известной и неизвестной генеральной дисперсии, для оценки среднего квадратического отклонения при нормальном распределении.
13. Проверка статистических гипотез в случаях:
А) сравнение выборочной средней с гипотетической генеральной средней при неизвестной генеральной дисперсии;
Б) сравнение выборочной средней с гипотетической генеральной средней при известной генеральной дисперсии;
В) сравнение исправленной выборочной дисперсии с гипотетической генеральной дисперсией нормальной совокупности.
