Тема Комплексная аттестационная работа № 2 (КАТР 2) (стр. 4 )

2. Исследуйте сходимость знакочередующегося ряда по признаку Лейбница:

3. Найдите радиус и интервал сходимости степенного ряда. Исследовать сходимость ряда на концах интервала сходимости:

.

4. Разложите в ряд Тейлора по степеням функцию

Вариант 2.

1. Исследуйте на сходимость числовой ряд с помощью достаточных признаков сходимости:

1) (по признаку сравнения);

2) (по признаку Даламбера); 3) .

2. Исследуйте сходимость знакочередующегося ряда по признаку Лейбница:

.

3. Найдите радиус и интервал сходимости степенного ряда. Исследовать сходимость ряда на концах интервала сходимости:

.

4. Разложите в ряд Тейлора по степеням функцию

Вариант 3.

1.. Исследуйте на сходимость числовой ряд с помощью достаточных признаков сходимости:

1) (проверьте необходимый признак сходимости);

2) (по признаку Даламбера)

3) .

2. Исследуйте сходимость знакочередующегося ряда по признаку Лейбница:

3. . Найдите радиус и интервал сходимости степенного ряда. Исследовать сходимость ряда на концах интервала сходимости:

.

4. Разложите в ряд Тейлора по степеням функцию

№ 9. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ

Вариант 1.

Найти общее решение дифференциального уравнения и частное решение, удовлетворяющее начальным условиям:

1)  ;

2)  ;

3) 

Вариант 2.

Найти общее решение дифференциального уравнения и частное решение, удовлетворяющее начальным условиям:

1)  ;

2)  ;

3) 

Вариант 3.

Найти общее решение дифференциального уравнения и частное решение, удовлетворяющее начальным условиям:

1)  ;

2)  ;

ТЕОРИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ И МАТЕМАТИЧЕСКАЯ СТАТИСТИКА

№ 1. Основные законы теории вероятностей

Задача 1. Бросаются две игральные кости. Определить вероятность того, что: а) сумма числа очков не превосходит N; б) произведение числа очков не превосходит N; в) произведение числа очков делится на N.

Вариант 1 N=3

Вариант 2 N=4

Вариант 3 N=5

Задача 2. В лифт k-этажного дома сели n пассажиров (n <k). Каждый независимо от других с одинаковой вероятностью может выйти на любом (начиная со второго) этаже. Определить вероятность того, что: а) все вышли на разных этажах; б) по крайней мере, двое сошли на одном этаже.

Вариант 1 k=11, n=3

Вариант 2 k=9, n=4

Вариант 3 k=7, n=3

Задача 3. Два игрока A и B поочередно бросают монету. Выигравшим считается тот, у кого раньше выпадает герб. Первый бросок делает игрок A, второй - B, третий - A и т. д.

Найти вероятность указанного ниже события.

Варианты 1. Выиграл A до 4-го броска.

Варианты 2. Выиграл A не позднее 6-го броска.

Варианты 3. Выиграл B до 10-го броска.

Задача 4. В альбоме k чистых и l гашеных марок. Из них наудачу извлекаются m марок (среди которых могут быть и чистые и гашеные), подвергаются спецгашению и возвращаются в альбом. После этого вновь наудачу извлекается n марок. Определить вероятность того, что все n марок чистые.

Вариант 1 k=8, l=10, m=3, n=2

Вариант 2 k=12, l=5, m=3, n=2

Вариант 3 k=9, l=6, m=2, n=3

Задача 5. Вероятность выигрыша в лотерею на один билет равна p. Куплено n билетов. Найти наивероятнейшее число выигравших билетов и соответствующую вероятность.

Вариант 1 p=0,3, n=10

Вариант 2 p=0,4, n=13

Вариант 3 p=0,6, n=15

Задача 6. В каждом из n независимых испытаний событие А происходит с постоянной вероятностью р. Найти вероятность того, что событие А происходит:

1.  точно G раз;

2.  точно L раз;

3.  меньше чем М и больше, чем F раз;

4.  меньше чем R раз.

Вариант 1 p=0,41, n=510, G=230, L=200, M=251, F=191, R=245

Вариант 2 p=0,5, n=600, G=320, L=290, M=350, F=290, R=335

Вариант 3 p=0,4, n=500, G=220, L=190, M=240, F=180, R=235

№ 2. Случайные величины

Задача 1. В городе имеется N оптовых баз. Вероятность того, что требуемого сорта товар отсутствует на этих базах одинакова и равна p. Составить закон распределения числа баз, на которых искомый товар отсутствует в данный момент.

Вариант 1 p=0,2, n=3

Вариант 2 p=0,25, n=4

Вариант 3 p=0,14, n=2

Задача 2. Случайная величина Х задана рядом распределения

Найти функцию распределения F(x) случайной величины X и построить ее график. Вычислить для X ее математическое ожидание М(Х), дисперсию D(X) и среднее квадратическое отклонение.

Вариант 1

X	-5	2	3	4
	0,4	0,3	0,1	0,2

Вариант 2

X	5	10	12	14
	0,4	0,2	0,1	0,3

Вариант 3

X	1	3	4	5
	0,4	0,3	0,1	0,2

Задача 3. Дана плотность распределения f(х) случайной величины X. Найти параметр g, математическое ожидание М(X), дисперсию D(X), функцию распределения случайной величины X, вероятность выполнения неравенства x1<X<x2.

Варианты 1 : f(x) = x1= -0,7, x2=1,1

Варианты 2: f(x) = x1=1, x2=3

Варианты 3: f(x) = x1=-1, x2=0

№ 3. Элементы математической статистики

Вариант 1

Задача 1 При изготовлении изгибов труб для котлов электростанций одной из важнейших характеристик качества является овальность – форма кольцевого сечения после гибки, которая отличается от первоначальной формы - окружности. Распределение 100 изгибов, отобранных оп схеме случайной бесповторной выборки из совокупности 500 изгибов, приведено в таблице:

Овальность изгибов	12,0 – 12,2	12,2 – 12,4	12,4 – 12,6	12,6 – 12,8	12,8 – 13,0	Итого
Число изгибов	5	15	50	20	10	100

Найти вероятность того, что средняя овальность в выборке отличается от средней овальности всех изгибов по абсолютной величине не более чем на 0,05.

Задача 2. При выборочном обследовании 0,5% партии кирпича было установлено, что из 400 обследованных образцов 80 нестандартных. Найти границы, в которых с вероятностью 0,994 заключена доля стандартных кирпичей во всей партии, если выборка: а) повторная; б) бесповторная.