Интегральное исчисление функции одной переменной (стр. 3 )

263. 264. 265. 266.

267. 2671. 268.

269.

В задачах 270 - 279 найти интегралы, выделив целую часть из неправильной*) подынтегральной дроби (см. примеры 5 и 6).

270. 271. 272. 273.

274. 275. 276. 277.

278. 279. 2791. 2792.

П р и м е р 5. Вычислить . ► И числитель и знаменатель дроби содержит переменную интегрирования в одной и той же степени. Поэтому из дроби можно выделить целую часть, дополнив числитель на 2 и сформировав таким образом в числителе сумму (х+2).

◄

П р и м е р 6. Вычислить

► Преобразуем подынтегральную дробь . Будем рассматривать ее как сумму двух простейших дробей со знаменателями х и (х - 1). Чтобы получить разложение заданной дроби на простейшие, представим ее числитель в виде разности сомножителей знаменателя и затем, произведя почленное деление компонентов числителя на знаменатель, получим:

.

Итак, . Поэтому

◄

П р и м е р 7. Вычислить .

► Если выделить в трехчлене полный квадрат двучлена, будем иметь сумму квадратов. Действительно, . Поэтому заданный интеграл принимает вид :

◄

В задачах 280-296 вычислить интегралы, используя прием разложения подынтегральной дроби на сумму простейших дробей и прием выделения полного квадрата (см. примеры 6 и 7).

280. 281. 282. 283.

284. 285. 286. 287.

288. 289. 290. 291.

292. 293. 294.

295. 296. 2961.

§ 3. Интегрирование по частям

Из формулы дифференциала произведения следует формула интегрирования по частям . Интегрирование по частям применяется, как правило, тогда, когда под интегралом имеется произведение алгебраической и неалгебраической функций, например, или . При этом за u принимается функция, которая при дифференцировании упрощается, а за – та часть подынтегрального выражения, содержащая dx, интеграл от которой известен или может быть вычислен. Если под интегралом стоит произведение логарифмической или обратной тригонометрической функции на алгебраическую, то за u обычно принимают неалгебраическую функцию, если - произведение тригонометрической или показательной функции на алгебраическую, то за u принимается алгебраическая функция.

П р и м е р 1. Вычислить .

► Пусть x = u , тогда sin x dx = . Следовательно, du = dx , а , таким образом,

Проделанные вычисления показывают, что постоянную можно не учитывать, поэтому в дальнейшем при вычислениях опускается. ◄

П р и м е р 2. Вычислить .

► Пусть Следовательно, du = dx, а Поэтому, ◄

П р и м е р 3. Вычислить .

u Пусть тогда x dx = и, следовательно, ,

. Таким образом,

◄

П р и м е р 4 . Вычислить

► Полагаем arctg x = u, тогда dx = , поэтому

;

Значит, ◄