МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ
РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ
ФГБОУ ВО «СГУ имени »
Механико-математический факультет
СОГЛАСОВАНО заведующий кафедрой геометрии __________________РОЗЕН В. В. "__" ________________2016 г. | УТВЕРЖДАЮ председатель НМК механико-математического факультета _____________ТЫШКЕВИЧ С. В. "__" ________________2016 г. |
Фонд оценочных средств
текущего контроля и промежуточной аттестации по дисциплине
Дифференциальная геометрия и топология
Направление подготовки
02.03.01 Математика и компьютерные науки
Профиль подготовки
Математические основы компьютерных наук
Квалификация (степень) выпускника
Бакалавр
Форма обучения
очная
Саратов,
2016
· Карта компетенций
Контролируемые компетенции (шифр компетенции) | Планируемые результаты обучения (знает, умеет, владеет) |
ОК-6 Способность работать в коллективе, толерантно воспринимая социальные, этнические, конфессиональные и культурные различия | Знать: основные этапы развития дифференциальной геометрии и топологии |
Уметь: логически верно, аргументировано и ясно строить устную и письменную речь; работать с информацией из различных источников (учебная и научная литература, интернет-ресурсы) | |
Владеть: навыками работы в коллективе; профессиональной терминологией и готовностью к ее использованию | |
ОК-7 Способность к самоорганизации и к самообразованию | Знать: основные понятия, методы дифференциальной геометрии и топологии; формулировки и доказательства утверждений, методы их доказательства, возможные сферы их связи и приложения в других областях математического знания и дисциплинах естественнонаучного содержания |
Уметь: доказывать утверждения дифференциальной геометрии и топологии, решать задачи теоретического и прикладного характера из различных разделов дифференциальной геометрии, использовать теоретические методы в решении прикладных задач; самостоятельно находить взаимосвязь между различными понятиями, используемыми в данной дисциплине | |
Владеть: методами доказательства утверждений; навыками сбора и работы с математическими источниками информации; понятийным аппаратом дифференциальной геометрии и топологии. | |
ОПК-1 Готовность использовать фундаментальные знания в области математического анализа, комплексного и функционального анализа, алгебры, аналитической геометрии, дифференциальной геометрии и топологии, дифференциальных уравнений, дискретной математики и математической логики, теории вероятностей, математической статистики и случайных процессов, численных методов, теоретической механики в будущей профессиональной деятельности | Знать: основные понятия топологии (определение, открытые и замкнутые множества, непрерывность, хаусдорфовость, компактность и др.), дифференциальной геометрии (кривизна и кручение кривой, первая и вторая фундаментальная форма поверхности, нормальные кривизны, средняя и полная кривизна) и определение дифференцируемого многообразия, основные идеи топологии и инвариантности геометрических понятий; основные формулы, позволяющие проводить вычисления для решения соответствующих задач; сферы применения рассматриваемых в курсе теоретических вопросов и компьютерных программ, позволяющих решать вычислительные задачи из данного курса. |
Уметь: использовать общие понятия топологии и дифференциальной геометрии и основные формулы для решения конкретных задач;осуществить адекватный выбор компьютерной программы для решения поставленной задачи геометрического характера. | |
Владеть: понятийным аппаратом топологии и дифференциальной геометрии; - навыками профессионального мышления, необходимыми для адекватного использования методов топологии и дифференциальной геометрии. | |
ОПК-3 Способность к самостоятельной научно-исследовательской работе | Знать: этапы подготовки решения задач на ПК |
Уметь: логически мыслить, объяснять учебный материал, вести корректную дискуссию в процессе представления этих материалов, выбрать метод решения предлагаемой задачи; для выбора метода решения задачи, пользоваться учебными и справочными материалами; использовать теоретические методы в решении прикладных задач; самостоятельно находить взаимосвязь между различными понятиями, используемыми в данной дисциплине | |
Владеть: навыками сбора и работы с математическими источниками информации, основными приемами составления алгоритма для решения предлагаемой задачи |
· Показатели оценивания планируемых результатов обучения
Семестр | Шкала оценивания | |||
2 | 3 | 4 | 5 | |
1 семестр | Не знает основные понятия дифференциальной геометрии и топологии, логические методы доказательства математических теорем, основные понятия теории кривых и теории поверхностей, основные понятия топологии. Не умеет доказывать теоремы и утверждения курса, записывать уравнения касательных, нормалей кривой, находить кривизну и кручение кривой, записывать уравнения касательной плоскости поверхности и нормали, вычислять первую и вторую квадратичную форму поверхности, определять главные кривизны и главные направления, определять, является ли топологическим пространство, находить открытые и замкнутые подмножества. Не владеет понятийным аппаратом дифференциальной геометрии и топологии. Не владеет навыками сбора и работы с математическими источниками информации. | Знает основные понятия дифференциальной геометрии и топологии. Слабо знает логические методы доказательства математических теорем. Слабо знает основные понятия теории кривых и теории поверхностей, основные понятия топологии. Плохо знает основные формулы теории поверхностей. Умеет осуществлять вывод основных уравнений теории кривых. Допускает ошибки в преобразованиях. Не умеет получать деривационные формулы. Не умеет находить открытые и замкнутые подмножества топологического пространства. Слабо владеет понятийным аппаратом дифференциальной геометрии и топологии. Не владеет навыками сбора и работы с математическими источниками информации. | Знает основные понятия дифференциальной геометрии и топологии, логические методы доказательства математических теорем. Хорошо знает основные понятия теории кривых и теории поверхностей, основные понятия топологии. Умеет доказывать теоремы и утверждения курса, записывать уравнения касательных, нормалей кривой, находить кривизну и кручение кривой, записывать уравнения касательной плоскости поверхности и нормали, вычислять первую и вторую квадратичную форму поверхности, определять главные кривизны и главные направления, определять, является ли топологическим пространство, находить открытые и замкнутые подмножества. Допускает ошибки в преобразованиях и при выводе деривационных формул и основных формул теории поверхностей. Владеет понятийным аппаратом дифференциальной геометрии и топологии. Хорошо владеет навыками сбора и работы с математическими источниками информации. | Знает основные понятия дифференциальной геометрии и топологии, логические методы доказательства математических теорем, понятия теории кривых и теории поверхностей, основные определения и теоремы топологии. Умеет доказывать теоремы и утверждения курса, записывать уравнения касательных, нормалей кривой, находить кривизну и кручение кривой, записывать уравнения касательной плоскости поверхности и нормали, вычислять первую и вторую квадратичную форму поверхности, определять главные кривизны и главные направления, определять, является ли топологическим пространство, находить открытые и замкнутые подмножества. Свободно владеет понятийным аппаратом дифференциальной геометрии и топологии. Отлично владеет навыками сбора и работы с математическими источниками информации. |
· Оценочные средства
2.1 Задания для текущего контроля
· Контрольная работа
Методические рекомендации. Контрольная работа по дисциплине «Дифференциальная геометрия и топология» проводится в письменном виде. Учебным планом по направлению подготовки 02.03.01 «Математика и компьютерные науки» предусмотрена одна контрольная работа. Подготовка студента к контрольной работе осуществляется в период лекционных и практических занятий, а также во внеаудиторные часы в рамках самостоятельной работы. Во время самостоятельной подготовки студент пользуется конспектами лекций, практических занятий, основной и дополнительной литературой по дисциплине (см. перечень литературы в рабочей программе дисциплины).
Критерии оценивания. Количество баллов, выставляемых за выполнение заданий, зависит от полноты решения и правильности ответа. Общие требования к выполнению заданий: решение должно быть математически грамотным, полным, в частности все возможные случаи должны быть рассмотрены. За решение, в котором обоснованно получен правильный ответ, выставляется максимальное количество баллов. Правильный ответ при отсутствии текста решения оценивается в 0 баллов.
Имеется верное доказательство утверждения и обоснованно получен верный ответ - 2 балла.
Допущена единичная ошибка, возможно, приведшая к неверному ответу, но при этом имеется верная последовательность всех шагов решения - 1 балл.
Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше - 0 баллов.
ПРИМЕРНЫЕ ВАРИАНТЫ контрольной работы
Вариант № 1
1. Показать, что на плоскости R
множество прямоугольников
{(x, y)| a
<x<b, a
<y<b} является базой некоторой топологии на R.
2. Дана поверхность x=u+v , y= u-v , z=uv. Найти длину дуги кривой v=a u
между точками ее пересечения с кривыми u=2 и u=4.
Вариант № 2
1. Найти уравнение соприкасающейся плоскости к кривой x=t, y=t
, z=t
при t = 1.
2. Найти кривизну и кручение кривой x=2t, y=ln t, z=t.
3. Найдите угол между кривыми v=u+1 и v=3-u на поверхности x=u cos v,
y=u sin v, z=u.
· Задания для практических занятий
Примеры заданий по разделу «Топология»
Цель решаемых задач - позволяют оценить и диагностировать знания материала по разделу "Топология" и умение правильно использовать специальные термины и понятия.
1. Найти все топологии на множестве, состоящем из двух точек. Указать те из них, которые не являются дискретной и антидискретной.
2. Привести примеры топологий на множестве, состоящем из трех точек, отличные от дискретной и антидискретной.
3. Показать, что пересечение любого семейства топологий на Х является топологией на Х.
4. Показать, что на плоскости 
множество всех открытых конечных отрезков, параллельных некоторой прямой, является базой некоторой топологии.
Примеры заданий по разделу "Теория кривых"
Цель решаемых задач - позволяют оценить и диагностировать знания материала по разделу "Теория кривых" и умение правильно использовать специальные термины и понятия.
1. Найти тангенциальный, бинормальный и главный нормальный векторы кривой 
в точке 
. Найти единичные векторы в той же точке. Ответ t(-1,0,1), b(1,0,1), n(0,-2,0), 
, 
, 
.
2. Написать уравнения главной нормали, бинормали и соприкасающейся плоскости к кривой 
в точке 
. Ответ B(6,-6,2), N(-22,-16,18), главная нормаль 
, бинормаль 
, соприкасающаяся плоскость 
.
3. Написать уравнения главной нормали и бинормали кривой 
в точке . Ответ b(-1,1,2), n(3,3,0), уравнения главной нормали 
, бинормали 
.
4. Показать, что уравнения 
определяют коническую винтовую линию, и написать уравнения главной нормали, бинормали и касательной к ней в начале координат.
5. Написать уравнения касательной к винтовой линии 
в любой точке и при 
. Показать, что винтовая линия пересекает образующие цилиндра 
под одинаковым углом. Ответ при 
, 
.
6. Найти углы с осями координат тангенциального вектора кривой 
в точке 
. Ответ 
, 
, 
.
7. Плоскость 
, на которой дана кривая 
, накручивается на цилиндр 
. Написать параметрические уравнения образованного кривой винта и определить бинормальный вектор кривой в любой точке и точке , где – t угол поворота.
Примеры заданий по разделу "Теория поверхностей"
Цель решаемых задач - позволяют оценить и диагностировать знание материала по разделу " Теория поверхностей" и умение правильно использовать специальные термины и понятия.
1. Вычислить вторую и первую квадратичные формы поверхностей, определить углы между координатными линиями.
1. 
2. 
3. 
Методические рекомендации. Решение задач осуществляется во время практических занятий. Рекомендуется проводить текущий контроль знаний и умений вначале занятия после изучения соответствующих тем разделов. Подготовка студента к проверочной работе осуществляется в период лекционных и практических занятий, а также во внеаудиторные часы в рамках самостоятельной работы.
Во время самостоятельной подготовки студент пользуется конспектами лекций, практических занятий, основной и дополнительной литературой по дисциплине (см. перечень литературы в рабочей программе дисциплины).
Критерии оценивания. Общие требования к выполнению заданий: решение должно быть математически грамотным, полным. За решение, в котором обоснованно получен правильный ответ, выставляется максимальное количество баллов. Правильный ответ при отсутствии текста решения оценивается в 0 баллов.
Имеется верное доказательство утверждения и обоснованно получен верный ответ - 1 балл.
Допущена единичная ошибка, возможно, приведшая к неверному ответу, но при этом имеется верная последовательность всех шагов решения - 0,5 баллов.
Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше - 0 баллов.
· Промежуточная аттестация
Методические указания.
Промежуточная аттестация по дисциплине «Дифференциальная геометрия и топология» проводится в виде устного экзамена. Учебным планом по направлению подготовки 02.03.01 «Математика и компьютерные науки» предусмотрена одна промежуточная аттестация. Подготовка студента к прохождению промежуточной аттестации осуществляется в период лекционных и практических занятий, а также во внеаудиторные часы в рамках самостоятельной работы. Во время самостоятельной подготовки студент пользуется конспектами лекций, практических занятий, основной и дополнительной литературой по дисциплине (см. перечень литературы в рабочей программе дисциплины).
Критерии оценивания. Во время экзамена студент должен дать развернутый ответ на вопросы, изложенные в билете. Преподаватель вправе задавать дополнительные вопросы по всему изучаемому курсу.
Во время ответа студент должен продемонстрировать знания по топологии, теории кривых и теории поверхностей. Студент должен знать: основные понятия топологии (определение, открытые и замкнутые множества, непрерывность, хаусдорфовость, компактность и др.), дифференциальной геометрии (кривизна и кручение кривой, первая и вторая фундаментальная форма поверхности, нормальные кривизны, средняя и полная кривизна) и определение дифференцируемого многообразия, основные идеи топологии и инвариантности геометрических понятий; основные формулы, позволяющие проводить вычисления для решения соответствующих задач; сферы применения рассматриваемых в курсе теоретических вопросов и компьютерных программ, позволяющих решать вычислительные задачи из данного курса. Студент должен уметь решать стандартные задачи дифференциальной геометрии и тензорного анализа. Студент должен владеть: понятийным аппаратом дифференциальной геометрии и топологии; методами математического моделирования при анализе прикладных проблем; математическими основами информатики и компьютерных наук. Полнота ответа определяется показателями оценивания планируемых результатов обучения.
· Список вопросов к экзамену
1.Определение топологического пространства с помощью открытых множеств.
2. Топология метрического пространства. Топология пространства R
.
3. Замкнутые множества и их свойства
4. Окрестности точки и их свойства.
5. Внутренние точки множества, внутренность и ее свойства.
6. Точки прикосновения множества, замыкание и его свойства.
7. Непрерывность отображения в точке.
8. Необходимое и достаточное условие непрерывности отображения с помощью открытых и замкнутых множеств.
9. Гомеоморфизм.
10. Подпространство топологического пространства, его открытые и замкнутые множества.
11. Хаусдорфовы топологические пространства.
12. Компактные топологические пространства.
13. Компактные множества. Свойства компактных множеств. Компактные множества пространства R.
14. Связные топологические пространства. Связные множества и их свойства.
15. Векторная функция скалярного переменного и ее выражение в координатах.
16. Непрерывность и дифференцируемость векторной функции скалярного переменного. Формальные свойства производной.
17. Кривая в евклидовом пространстве и ее уравнение. Длина дуги и формула для нее. Натуральный параметр.
18. Касательная к кривой в евклидовом пространстве. Лемма о производной векторной функции постоянного модуля.
19. Кривизна кривой и ее выражение с помощью произвольного параметра. Необходимое и достаточное условие прямой.
20. Соприкасающаяся плоскость бирегулярной кривой. Трехгранник Френе.
21. Единичные векторы касательной, главной нормали и бинормали ориентированной кривой в евклидовом пространстве. Формулы Френе. Кручение и ее выражение с помощью произвольного параметра.
22. Необходимое и достаточное условие плоской кривой. Инвариантность кривизны и кручения относительно изометрий. Однозначность (с точностью до собственного движения) задания кривой ее кривизной и кручением.
23. Уравнение поверхности. Касательная плоскость и касательное пространство в точке поверхности.
24. Первая квадратичная форма поверхности и ее выражение в координатах.
25. Основные задачи, решаемые с помощью первой квадратичной формы: вычисление длины дуги, угла между кривыми и площади.
26. Вторая квадратичная форма ориентированной поверхности и ее выражение в координатах.
27. Нормальная кривизна. Главные направления и главные кривизны. Формула Эйлера. Гауссова и средняя кривизна.
28. Три типа точек на поверхности и локальное поведение поверхности в окрестности каждой из них.
29. Деривационные уравнения.
30. Уравнения Гаусса и Петерсона-Кодацци. Теорема Гаусса.
31. Дифференцируемые отображения и диффеоморфизмы пространства R.
32. n-мерные карты и n-мерные атласы класса C
.
33. Определение дифференцируемого многообразия. Примеры многообразий.
ФОС для проведения промежуточной аттестации одобрен на заседании кафедры геометрии (протокол № __2__ от __7 сентября_ 2015 года).
Автор :
Доцент кафедры геометрии
