v[p] = 1, если g+(p) = {р}, g–(p) = Æ;
v[p] = –1, если g+(p) = Æ, g–(p) = {р};
v[p] = 0,если g+(p) = {р}, g–(p) = {р};
v[p] = t, если g+(p) = Æ, g–(p) = Æ.
Очевидно, что g+(p)Çg–(p) = Æ, только если рÎPаÈPb.
Имеют место следующие типы аргументации:
Таблица 1.
Pа | Pb | P¢ | Тип аргументации | |
(1) | + | + | + | PаÈPbÈP¢ |
(2) | + | + | – | PаÈPb |
(3) | + | – | + | PаÈP¢ |
(4) | + | – | – | Pа |
(5) | – | + | + | PbÈP¢ |
(6) | – | + | – | Pb |
(7) | – | – | + | P¢ |
(8) | – | – | – | Æ |
Невырожденными типами аргументации являются (1) – (3), (5), (6).
Тезис 5. Определим аргументационные деревья (аргдеревья) Т(рj). Пусть U1ÍP, U2Í2P, из U1 образуются вершины вида · с пометкой рiÎU1, а из U2 образуются вершины вида o с пометкой Pis = gs(pi), PisÎU2, где sÎ{+, –}. Таким образом, имеются два вида вершин · рi и o Pis в аргдеревьях Т(рj) с корнем рj. Т(рj) имеют два типа рёбер ·––––o и o––––·, которые имеют пометки s, где sÎ{ +, –}. Рёбра ·––––o и o––––· с пометками s представляют, соответственно, пары áрi, Pisñ и áPis, рiñ. Аргдерево Т(рj) образовано поддеревьями
· рi o Pis
+ – s s
Pi+o o Pi– 
· … · 
d(Pis) = mi, mi³1. d(Pis) = 0, если Pis = Æ, где Pis = {, …, } или Pis = Æ, а d(Pis) – степень вершины Pis.
Концевыми вершинами Т(рj) являются синглетоны {pi}, где рiÎP¢, или Æ.
Обозначим посредством E1, E2 и F1, F2 множества рёбер вида ·––––o и o––––· и отображения E1 в U1´U2, E2 в U2´U1, соответственно. Определим аргдерево Т(р) = á{p}, U1, U2, E1, E2, F1, F2ñ как структуру, удовлетворяющую условиям (1) – (9):
рÎPаÈPb,
U1ÍP,
U2Í2P,
F1: E1 ® U1´U2, где F1(е1s) = áрi, gs(рi)ñ, е1sÎE1, рiÎU1, gs(рi)ÎU2, sÎ{+, –}.
F2: E2 ® U2´U1, где F2(е2s) = ágs(рi), рiñ, е2sÎE2, рiÎU1, gs(рi)ÎU2, sÎ{+, –}.
"х((хÎU1)É$e+$e–((e+, e–ÎE1)&(F1(e+)=áx, g+(x)ñ)& (F1(e–)=áx, g–(x)ñ))), где x, e+, e– –соответствующие переменные,
"х((хÎU1)É$e+$e–((e+, e–ÎE2)&(F2(e+)=ág+(x), хñ)& (F2(e–)=ág–(x), xñ))),
концевыми вершинами (если они существуют) являются Æ = gs(рi), sÎ{+, –}, рiÎU1, или {pi} = gs(рi), где рiÎP¢,
|U1| = l1, |U2| = l2, |E1| = k1, |E2| = k2, где | | – число элементов соответствующих множеств, а l1 + l2 = k1 + k2 +1.
Переменные x, y, z и X, Y, Z (быть может, с нижними индексами) имеют области определения U1 и U2, соответственно[2].
Для последовательностей рёбер xi·––––oXj (с пометкой sj), Xjo––––·xj (с пометкой sj+1), представимых парами áxi, Xjñ, áXj, xjñ, соответственно, определим предикаты пути из вершины x в вершину X и т. д.: П(x, X), П(Х, х), П(x, y), П(X, Y).
Если х0 – корень аргдерева Т(х0), а Х – концевая вершина, то предикат П(x0, X) представляет максимальный путь из x0 в X, называемый ветвью. Ветви q(Х) соответствует множество её вершин Set(q(Х)). Заметим, что ветвь q в Т(х0) может не иметь концевой вершины, если P¢ = Æ. Если же q имеет концевую вершину, то |Set(q)|<¥.
Рассмотрим пример аргдерева Т(р1) с типом аргументации (6):
Pа = Æ, Pb¹ Æ, P¢ = Æ, где Pb = {р1, р2, р3, р4}, а g+(p1) = {р2}, g–(p1) = Æ, g+(p2) = {р3, р4}, g–(p2) = Æ, g+(p3) = {р1}, g–(p3) = Æ, g+(p4) = {р3}, g–(p4) = Æ.
Т(р1): |
|
| |||||||
| {р2}o | + – | o Æ | ||||||
|
| + | |||||||
|
| + | – | o Æ | |||||
|
| + |
|
| |||||
| {р1}o | + – | o Æ |
| {р3}o | + – | o Æ | ||
| + |
|
| + | |||||
{р2}o | + – | o Æ |
| {р1} o | – | o Æ | |||
_ _ _ |
|
| + | ||||||
q1 | {р2}o | + – | o Æ | ||||||
_ _ _ | |||||||||
q2 |
р1 ·
р2 ·
{р3, р4}o
р3 ·
–
р4 ·
р1 ·
+
р3 ·
р1 ·Из определения аргдеревьев следует, что они конечно-порождённые, так как степени вершин конечны: d(x) = 2, а d(X) есть некоторое число m, m³2. В силу неограниченного повторения вершин с пометкой {р2} |Т(р1)| = ¥, а потому в силу леммы Кёнига [König, 1926] в Т(р1) существуют бесконечные ветви, а именно |Set(q1)| = ¥ и |Set(q2)| = ¥. Пунктиром в аргдереве обозначены бесконечные ветви q1 и q2.
В силу конечно-порождённости аргдеревьев в любом аргдереве Т(рi) существует лишь конечное число ветвей q1, …, qk. Рассмотрим множества вершин Set(qj), j = 1, …, k, тогда Set(T(pi)) = 
Set(qj) будет конечным множеством, если выполняется следующее условие (С1): $x1((x1ÎSet(q1)) & (g+(x1)={x1} Ú g+(x1)=Æ) & (g–(x1)={x1} Ú g–(x1)=Æ))&…& $xk((xkÎSet(qk))& (g+(xk)={xk}Ú g+(xk)=Æ)& (g–(xk)={xk}Ú g–(xk)=Æ)).
|
Из за большого объема этот материал размещен на нескольких страницах:
1 2 3 4 5 6 |
Основные порталы (построено редакторами)