Аргументационные системы и их логики (стр. 3 )

Введём в рассмотрение метапредикат!1 конечности аргдерева Т(х0): !1Т(х0). !1Т(х0) тогда и только тогда, когда имеет место (С1). Т(х0) бесконечно тогда и только тогда, когда имеет место отрицание (С1), то есть Ø!1Т(х0). Очевидно, что Ø!1Т(х0), если в Т(х0) существует бесконечная ветвь q. Следовательно, в Set(q) не существует вершин х таких, что хÎP¢.

Тезис 6. Из определения предиката пути П в аргдереве следуют свойства его транзитивности:

"Х"х"Y((П(Х, х)&П(x, Y))ÉП(X, Y)),

"х"Х"y((П(x, X)& П(X, y))ÉП(x, y)),

"х"y"Х((П(x, y)&П(y, X))ÉП(x, X)),

"Х"Y"х((П(X, Y)&П(Y, х))ÉП(Х, х)).

Очевидно также следующее

Утверждение 1. "х(П(x, х)É(хÎPb)).

Из определения П(x, х) следует, что существуют последовательности рёбер x·––––oX, …, Xo––––·x, x·––––oX, где gs(x)=Х, следовательно, хÎPb, так как х аргументируемо и аргументирует.

Утверждение 2. "хП(x, х) É$ХП(Х, Х).

Утверждение 3. "ХП(Х, Х)É$хП(x, х).

Так как при П(x, х) имеется последовательность рёбер x·––––oX1, …, Xko––––·x, но gs(x)=Х, следовательно, добавляется ребро x·––––oX, а потому в силу транзитивности П получаем П(Х, Х). Аналогично доказывается Утверждение 3.

Следующее утверждение формулирует необходимое и достаточное условие бесконечности аргдеревьев.

Утверждение 4. Ø!1Т(рi) тогда и только тогда, когда $хП(x, х).

Необходимость: если Ø!1Т(рi), то $хП(x, х).

НЕ нашли? Не то? Что вы ищете?

Так как | Т(рi) | = ¥, то по лемме Кёнига [König, 1926] существует в Т(рi) ветвь q такая, что |Set(q)| = ¥. Но P, из которого имеются пометки типа · вершин Т(рi), является конечным множеством, следовательно, в q существует вершина х такая, что она повторяется, то есть имеет другое вхождение в q. Следовательно, в силу определения предиката П существует путь из х в другое вхождение х в q, т. е. $хП(x, х).

Достаточность: если $хП(x, х), то Ø!1Т(Рi).

Так как $хП(x, х), то хÎPb в силу Утверждения 1. Следовательно, вершине х соответствует ребро, представленное парой áx, Xñ, где Х = gs(x), а потому из вершины Х имеется путь в х. Продолжая этот процесс, получим бесконечную ветвь q, а следовательно, Ø!1Т(рi).

Из Утверждения 4 и Утверждения 2 выводится

Утверждение 5. Ø!1Т(рi) тогда и только тогда, когда $ХП(Х, Х)[3].

Легко вывести также следующее

Утверждение 6. (а) Если Ø!1Т(рi), то Pb ¹Æ; (b) если Pb ¹ Æ и P¢ = Æ, то Ø!1Т(рi).

Тезис 7. Сформулируем уточнение определения аргдерева Т(рi). Дело в том, что вершины типа х · (с пометкой х) могут иметь несколько вхождений в Т(рi), а потому им следует придать пометки j и m, которые являются номерами вхождений (j ¹ m). Таким образом, в Т(рi) вершины типа х · представимы посредством х · j, х · m. Аналогично представимы и вершины X o k.

Следовательно, делаются замены U1ÍP, U2Í2P на и посредством использования кратных вхождений х · j и X o k. Соответственно, определим : ® ´, : ® ´. Очевидно, что для аргументационных матриц имеет место условие: "х(gs(х · j) = gs(х · m)), где хÎP, а sÎ{+, –}.

Рассмотрим с P = PаÈPbÈP¢ и U = {p1, …, pn} такие, что piÎU1(i), piÎU, U1(i) Í P, U2(i) Í , i = 1, …, n; P = U1(i), a U Í PаÈPb.

Определим аргдеревья Т(Рi) с корневыми вершинами Рi: Т(рi) = á{pi}, (i), (i), (i), (i), (i), (i)ñ, где (i), (i) – множества соответствующих рёбер.

Множество аргдеревьев Т(рi) с piÎU образует лес Wd, определяемый следующим образом: Wd = áU, P, {Т(рi)}ñ[4].

Так как каждой вершине · рj в Т(рi) соответствуют два ребра вида áрj, g+(рj)ñ, áрj, g–(рj)ñ, то · рj взаимно-однозначно может быть сопоставлено Jnрj, где nÎ{1, -1, 0, t}. Поэтому Т(рi) может быть взаимно-однозначно сопоставлен его J-образ – дерево JТ(рi) с соответствующими помеченными вершинами Jnрj и приписанными им номерами кратных вхождений.

Будем говорить, что вершины Jnрj(li) в JТ(рi) и Jnрj(lk) в JТ(рk) аргументационно равносильны в Wd. Будем также говорить, что вершина · рj аргументационно зависима от вершины · рh в Т(рi), если пара áрj, рhñ выполняет предикат П(x, y). Аргументационно равносильные и аргументационно зависимые вершины в аргдеревьях {Т(рi)}, образующих лес Wd, будем называть аргументационно релевантными вершинами.

Тезис 8. Определим преобразование леса Wd в заросли Br, используя релевантные вершины аргдеревьев Т(рi). Рассмотрим два вида преобразований Ñ и # множества {Т(рi)} в Br. Каждую пару áрj, рhñ аргументационно зависимых вершин в Т(рi) соединим ребром еj,h. Применяя эту процедуру # ко всем Т(рi) из Wd, преобразуем {Т(рi)} в несвязный граф Г = {Гi} со связными компонентами Гi = #(Т(рi)).

Рассмотрим Т(рi) и Т(рk) из Wd. Пусть и – рёбра из Т(рi) и Т(рk), соответственно, где (i)() = áх1(ji), x(li)ñ, (k)() = áх2(jk), x(lk)ñ. Определим преобразование Ñ множества {Т(рi), Т(рk)} в связный граф Г* = Ñ{Т(рi), Т(рk)} следующим образом: ребро (в Т(рi)) и ребро (в Т(рk)) и соответствующие им вершины преобразуем в подграф