Аргументационные системы и их логики (стр. 4 )

· , где вершина – результат совмещения аргументационно равносильных вершин x(li) и x(lk), преобразуемых в .

Распространим это преобразование на любое подмножество из {Т(рi)} и получим определение преобразования Ñ: Ñ({, …, }) = Г*, где {, …, }Í {Т(рi)}, а 2 £ m £ |U|.

Br(Wd) будем называть зарослями, если имеют место следующие равенства:

(a) Br(Wd) = #({Т(рi)}) = {#(Т(рi)},

(b) Br(Wd) = Ñ({Т(рi)}),

(d) Br(Wd) = Ñ(#({Т(рi)})).

Тезис 9. Лес Wd является несвязным планарным графом, а заросли Br(Wd) могут быть непланарным графом Г*, непланарность которого устанавливается посредством теоремы Куратовского-Понтрягина [Харари, 1973]: граф Г* является планарным тогда и только тогда, когда он не содержит подграфов, гомеоморфных одному из следующих подграфов:

«колодец» «звезда»

Рис. 1 Рис. 2

Приведём пример леса Wd такого, что ему соответствуют непланарные заросли Br(Wd). Рассмотрим аргументационную матрицу с P = PаÈPbÈP¢, где Pа = {p4, р5, р6}, Pb = Æ, P¢ = {p1, p2, p3, p7, p8, p9}, такую, что она представима лесом Wd, содержащим деревья Т(р4), Т(р5) и Т(р6), которые определяются посредством gs(рi), где 1 £ i £ 9, а sÎ{+, –}.

Т(р4): Т(р5):

g+(p4) = {р1, р2, р3, р7}, g–(p4) = Æ; g+(p5) = {р1, р2, р3, р8}, g–(p5) = Æ;

g+(p1) = {р1}, g–(p1) = Æ; g+(p1) = {р1}, g–(p1) = Æ;

g+(p2) = {р2}, g–(p2) = Æ; g+(p2) = {р2}, g–(p2) = Æ;

g+(p3) = {р3}, g–(p3) = Æ; g+(p3) = {р3}, g–(p3) = Æ;

НЕ нашли? Не то? Что вы ищете?

g+(p7) = {р7}, g–(p7) = Æ. g+(p8) = {р8}, g–(p8) = Æ.

Т(р6):

g+(p6) = {р1, р2, р3, р9}, g–(p6) = Æ;

g+(p1) = {р1}, g–(p1) = Æ;

g+(p2) = {р2}, g–(p2) = Æ;

g+(p3) = {р3}, g–(p3) = Æ;

g+(p9) = {р9}, g–(p9) = Æ[5].

Применяем Ñ и получаем Br(Wd) = Ñ({Т(р4), Т(р5), Т(р6)}) такие, что соответствующим им граф Г* содержит подграф Г¢, являющийся «колодцем» (см. Рис. 1)

{р1, р2, р3, р7} {р1, р2, р3, р8} {р1, р2, р3, р9}

o o o

· · ·

р1 р2 р3

Рис.3

Для сравнительно простого типа аргументации (3) с Pа¹Æ, Pb=Æ и P¢¹Æ построены непланарные заросли, являющиеся его графическим представлением.

Введём метапредикат! для распознавания планарности (непланарности) Br(Wd). !Br(Wd) означает, что зарослям Br(Wd) соответствует планарный граф Г*. Неэкономный алгоритм распознавания непланарности, то есть установление истинности Ø!Br(Wd), сводится к перечислению подграфов Г* и поиску наличия его подграфов Г¢ таких, что они гомеоморфны «колодцу» (Рис.1) или «звезде» (Рис.2). Отсутствие таковых означает истинность! Br(Wd).

Тезис 10. Рассмотрим J-образы JТ(рi) аргдеревьев Т(рi). В JТ(рi) имеются подграфы

J1pj J–1pj J0pj

· · ·

+ – + – + –

Pj+ o o Æ Æo o Pj– Pj+o o Pj–,

(а) (b) (c)

где Pjs = gs(рj) ¹Æ или Pjs = Æ.

Рёбра еs такие, что Jnpj ·––––o Pjs (с пометкой s) и Pjs ¹ Æ, sÎ{+, –}, будем называть информативными.

Пусть Pjs = {, …, }, | Pjs | = h, &h(5)(Pjs) = &h(5)(, …, ). Вершинам вида J1pj и рёбрам е+ с Pj+ ¹ Æ сопоставим формулу J1(pj É &h(5)(Pj+)), вершинам вида J–1pj и рёбрам е– с Pj– ¹ Æ сопоставим формулу J1(&h(5)(Pj–)É pj), вершинам вида J0pj с рёбрами е+ и е– с Pj+ ¹ Æ и Pj– ¹ Æ сопоставим формулы J1(pj É &h(5)(Pjs)) и J1(&h(5)(Pj–)É pj), соответственно. Используемые импликации выражают аргументационные зависимости вершин вида · и o.

Рассмотрим в JТ(рi) конечную ветвь q. На q определим множество формул такое, что оно состоит из всех помеченных вершин типа · и всех формул, представляющих аргументационные зависимости помеченных вершин типа · и типа o, представимых определёнными выше импликациями логики . Множество таких формул, соответствующих ветви qт, обозначим посредством Set(qт). Пусть q1, …, qs – все ветви JТ(рi) такие, что их концевые вершины не являются Æ (эти ветви образованы только информативными рёбрами). Описанием аргдерева Т(рi) будем называть Des(Т(рi)) = Set(q1)È …ÈSet(qs), a Des(qт) = Set(qт), m = 1, …, s, будем называть описанием ветви qт.

Заметим, что если Ø!1Т(рi), то его описание Des(Т(рi)) – конечное множество формул (из-за повторения вершин типов · и o).

Пусть Sт = Des(qт), m = 1, …, s; S = Des(Т(рi)) = Sт. построим средствами аналитическую таблицу TS для множества S, началом которой является S. S непротиворечиво, если TS содержит открытую ветвь q. S является противоречивым, если все ветви TS замкнуты [Финн, 1996; Финн, 2011]. Соответственно, введём обозначения Сonsis(S) и ØСonsis(S). Определим метапредикат !2 непротиворечивости для Des(Т(рi)): !2(Т(рi)) ⇌ Сonsis(S), где S = Des(Т(рi)). Соответственно, Ø!2(Т(рi)) ⇌ ØСonsis(S). Приведём пример описания аргдерева Т(р1) с Pа = {р1}, Pb= {р2} и P¢ = {р3}.