Однотипные вариационные ряды обычно имеют похожую форму при графическом изображении, однако могут отличаться существенно друг от друга:
1. иметь различные значения признаков, вокруг которых концентрируются наблюдения (средние величины);
2. различаются рассеянием наблюдений вокруг средних величин (показатели вариации).
Определение. Средние величины и показатели вариации, позволяющие судить о характерных особенностях вариационных рядов, называются статистическими характеристиками.
ГЛАВА II. ЧИСЛОВЫЕ ХАРАКТЕРИСТИКИ РЯДОВ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ
§1. Средние величины
Часто возникает необходимость охарактеризовать одним числом совокупность изменяющихся значений какого-либо признака х. Для этого отыскивают некоторую постоянную величину, соответствующую среднему уровню данного распределения, которую и называют средним значением 
, то есть вариационный ряд заменяют абстрактной математической совокупностью, где каждый член характеризуется одним и тем же значением признака 
. Такая абстракция правомерна, если осреднение не нарушило основного свойства совокупности – «определяющего свойства».
Определение. Определяющее свойства требует, чтобы при замене индивидуальных значений 
соответствующей средней сохранялось равенство:
.
Из этого равенства и находят соответствующую среднюю величину. В дальнейшем:
- средняя арифметическая величина;
- средняя геометрическая;
- средняя гармоническая;
- средняя квадратическая.
При выборе средней следует ответить на вопрос: «Какое свойство ряда нужно представить средней величиной? Какая цель преследуется при вычислении средней?».
§2. Средняя арифметическая
Основное свойство, определяющее среднюю арифметическую (правило):
Определение. Сумма результатов наблюдений должна оставаться неизменной, если каждый из них заменить средней арифметической. 
, следовательно 
- средняя арифметическая простая величина.
Аналогично, если определяющее свойство выглядит так:
- средняя арифметическая взвешенная.
Свойство средней арифметической:
1. 
2. 
(взвешенная)
Сумма отклонений значений х от равна нулю.
3. Если ко всем значениям признака прибавить или отнять какую-то величину А, то и среднее значение изменится на эту же величину, то есть: при 
.
Формула простой средней арифметической 
Формула взвешенной средней арифметической
Это свойство называется свойством монотонности.
4. Если все значения признака умножить или разделить на какое-то число С, то и среднее арифметической увеличится или уменьшится в С раз.
При взвешенной средней арифметической 
.
При простой средней арифметической 
.
5. Если каждую из частот 
умножить на постоянную величину 
, то среднее арифметическое признака не изменится:
Эти свойства используют для упрощения вычисления:
,
где А – значение с наибольшей частотой, или значение близкое к середине ряда;
h – шаг, наибольший общий делитель разностей 
.
§3. Средняя геометрическая 
Основное свойство, определяющее среднюю геометрическую:
Определение. Общий объем признака определяется как произведение осредняемых значений .
;
, иначе:
простая средняя геометрическая 
.
Взвешенная средняя геометрическая 
.
Обычно это выражение логарифмируется:
Эта формула похожа на формулу средней арифметической, так как натуральный логарифм средней геометрической равен средней арифметической из значений логарифмов осредняемых величин, поэтому все свойства средней арифметической распространяются и на логарифмированную среднюю геометрическую.
Замечание:
1. 
, если хотя бы один элемент 
;
2. может быть мнимой величиной, если среди значений встречаются отрицательные величины.
Задача:
1. В хозяйстве в течение ряда лет осуществляется производство горшочков для рассады, в штуках. Определить средний тип изменения объема производства за эти годы.
1996г. – 2000шт.
1997г. – 9000шт.
1998г. – 27000шт.
1999г. – 54000шт.
Определим темпы роста по отношению к предыдущему году:
1997г. к 1996г. 9000:2000 = 4,5
1998г. к 1997г. 27000:9000 = 3,0
1999г. к 2998г. 54000:27000 = 2,0
Определяющее свойство: сохранить неизменным общий объем признака – произведение темпов роста
| 4,5 | 3 | 2 |
| 1 | 1 | 1 |
Средний темп изменения объема производства за эти годы был равен 3.
2. Дан признак
|
|
|
| 1 | 1 |
при условии, что 
.
Доказать, что среднее арифметическое больше или равно среднему геометрическому.
Но так как , то 
, следовательно,
.
При соблюдении условия , выражение меняет знак 
на >.
, поэтому в ответе у нас получается, что 
.
|
Из за большого объема этот материал размещен на нескольких страницах:
1 2 3 4 5 6 |
Основные порталы (построено редакторами)