§4. Средняя гармоническая 
Остается неизменной сумма величин, обратных данным
Формула простой средней гармонической 
.
Формула взвешенной средней гармонической 
, 
.
Задача. Товарооборот каждого из трех предприятий составляет 18 млн. руб. При этом первое предприятие выполнило план на 120%, второе – на 150%, а третье – на 120%. Установить средний процент выполнения плана по предприятиям.
.
§5. Средняя квадратическая 
Остается неизменной сумма квадратов наблюдений.
Простая средняя квадратическая 
.
Взвешенная средняя квадратическая 
.
Задача. При штамповке 30 квадратных пластинок со стороной 2 см, 20 – со стороной 1,5 см и 50 – со стороной 1 см, необходимо заменить их на 100 одинаковых при том же расходе материала. Каких размеров должны быть пластинки?
| 2 | 1,5 | 1 |
| 30 | 20 | 50 |
.
§6. Медиана и мода вариационного ряда
Они – описательные характеристики вариационного ряда.
Определение. Медианой 
называется значение признака, приходящегося на середину ранжированного ряда наблюдений.
Медиана делит всю совокупность на две равные по численности значений части, то есть 
и 
.
Если число значений признака нечетное 
, то совпадает с х со знаком р, = р. Если же 
, то на середину ряда приходится два значения
.
Для интервального ряда формула: 
, где
- начало медианного интервала;
- сумма всех частот;
- сумма частот до медианного интервала;
- частота медианного интервала;
k – ширина медианного интервала.
Для нахождения медианного интервала находят накопленные частоты. Первой из 
соответствует медианный интервал (в случае дискретного ряда 
соответствует самой ).
Определение. Модой 
называется такое значение признака, которое наблюдалось наибольшее число раз.
Для дискретного ряда нахождение моды не требует никаких вычислений, а для интервального ряда мода вычисляется по формуле:
,
где 
- начало модального интервала;
- частота модального интервала;
- частота предшествующего первому интервала;
- частота следующего за модальным интервала;
k – ширина модального интервала.
§7. Показатели вариации 
Определение. Размах варьирования вариационного ряда называется разность между наибольшим и наименьшим значениями признака. 
.
Размах варьирования – простейший показатель вариации, так как он не зависит от изменения вариант, а крайние, как правило, бывают ненадежными.
Размах характеризует амплитуду колебаний значений признака в совокупности.
Определение. Дисперсией признака 
называют средний квадрат отклонений значений признака от средней арифметической.
Для несгруппированных данных 
.
Для сгруппированных данных 
.
Особенности:
1) учитывает различие не только 2 крайних, а всех значений признака;
2) характеризует рассеяние значений признака относительно его наиболее типичного уровня – средней арифметической, но измеряется только в квадратных единицах.
Определение. Средним квадратическим отклонением называется корень из дисперсии 
.
Измеряется в тех же единицах, что и сам признак.
Свойства:
1. 
;
2. 
;
3. 
.
Определение. Средним линейным отклонением 
называется средняя арифметическая из всех абсолютных индивидуальных отклонений значений признака от средней арифметической.
или 
- абсолютные характеристики вариационного ряда, а V (коэффициент вариации) – относительная характеристика.
Определение. Коэффициентом вариации называется отношение среднего квадратического отклонения к средней арифметической, выраженной в процентах: 
.
V – универсальная характеристика, которая служит для сравнения вариаций различных признаков.
Определение. Суммарная величина вариаций признака в совокупности называется объемом вариации: 
, 
.
Использование этих показателей вариаций входит в задачи дисперсионного анализа, позволяющего оценить действия изучаемых факторов на результативные показатели.
§8. Моменты распределения
Статистические моменты – это числовые характеристики распределения.
Любой вид распределения однозначно определяется своими моментами. Средняя арифметическая 
и дисперсия 
являются частными случаями статистических моментов.
Определение. Моментом порядка (
, целое число) относительно постоянной А называется величина 
.
Если А = 0 – момент называют начальным и обозначают 
.
.
Определение. Начальный момент первого порядка 
является .
|
Из за большого объема этот материал размещен на нескольких страницах:
1 2 3 4 5 6 |
Основные порталы (построено редакторами)