§3. Распределение Стьюдента
Стьюдент – псевдоним английского математика Госсета. Он установил: при небольших объемах выборки, несмотря на все условия для проявления закона нормального распределения, имеют место отклонения от него, причем тем больше, чем меньше выборка.
Определение. Под выборочным распределением понимают распределение частот (частостей или вероятностей) значений какого-либо выборочного показателя (не путать с распределением частот внутри выборки).
Пример: распределение, представленное как среднее значение Х из большего числа выборок одинакового объема, называют выборочным распределением частот. В этом случае величина нормированного отклонения вычисляется по формуле:
, где
- средняя j-ой выборки;
- средняя генеральной совокупности;
- средняя квадратического отклонения выборочной средней от средней величины генеральной совокупности.
,
где 
- среднее квадратическое отклонение признака Х в генеральной совокупности (средняя ошибка выборки).
Таким образом, значение t во многом зависит от n (объем выборки) и при увеличении n распределение Стьюдента приближается к нормальному. Уже при n = 50 расхождения между ними несущественны.
Распределение Стьюдента лежит в основе одноименного критерия. С помощью t – распределения Стьюдента устанавливается соотношение между возможным расхождением значений средних выборки и генеральной совокупности с одной стороны и вероятностью такого события с другой.
§4. Распределение Пуассона
Определение. Распределение Пуассона – это распределение частот признака Х, имеющего целые, неотрицательные значения, задающиеся формулой: 
, 
, (1)
n – объем выборки;
х – случайная величина целых положительных значений 
;
- дисперсия.
При малом значении Х распределение Пуассона сильно отличается от нормального, имея крайнюю правую положительную асимметрию.
 |
С увеличением Х это распределение приближается к нормальному.
Одним из наиболее распространенных применений распределения Пуассона служит описание числа появления редких случайных событий. Пример: Х – число поломок трактора в течение смены. Пусть проведено наблюдение среди множества машин, то распределение частот среди множества значений 
будет подчиняться формуле (1).
Сумма «m» независимых случайных величин, имеющих распределение Пуассона, также подчинена этому закону со средним значением 
, если рассматривать тот же самый пример с распределением вероятностей различного числа поломок трактора в течение m последовательных смен.
ГЛАВА IV. ОЦЕНКА ПАРАМЕТРОВ ГЕНЕРАЛЬНОЙ СОВОКУПНОСТИ ПО ДАННЫМ ВЫБОРКИ
§1. Задачи выборочного метода
Основная задача: получение показателей, пригодных для характеристики генеральной совокупности, так как обследуется только часть генеральной совокупности, то показатели выборки в большинстве случаев будут отклоняться от показателей генеральной совокупности.
Определение. Расхождение (разность) между параметрами выборочной и генеральной совокупности называют ошибкой выборки.
Пример: расхождение между 
и - называют ошибкой средней (дисперсии среднего квадратического).
Чтобы ошибка выборки была как можно меньше, применяется специальные способы формирования выборки с целью обеспечить всем единицам генеральной совокупности равную возможность быть отобранными.
Способы отбора:
1. собственно случайный повторный и бесповторный отбор;
2. механический;
3. типический (районированный);
4. серийный.
Собственно случайный отбор проводится путем жеребьевки или таблицы случайных чисел. Если в процессе отбора однажды отобранная единица не исключается из генеральной совокупности и может быть снова отобрана, то такой отбор называют повторным. Если отобранная единица не возвращается в генеральную совокупность, то отбор называется бесповторным.
Механический: единицы генеральной совокупности отбирают через определенные интервалы (например: 10% отбор). Он возможен только из конечной генеральной совокупности.
Типический: генеральная совокупность предварительно разбивается на группы или районы, затем из каждой группы по схеме собственно случайным повторным и бесповторным методом выборки отбирают определенное число элементов (если внутри генеральной совокупности есть подсовокупности, различающиеся между собой по какому-либо признаку)
Серийный: в генеральной совокупности выделяют непересекающиеся серии и группы, а потом по схеме собственно случайного отбора выделяют определенное число серий, все элементы которых образуют выборку. Увеличение объема выборки также уменьшает величину ошибки выборки, поэтому одной из частных задач выборочного метода – обоснование такого объема выборки, который позволяет оценить параметры генеральной совокупности с заданной точностью.
§2. Точечные оценки параметров генеральной совокупности
Определение. Точечная оценка – это приближенное значение параметра генеральной совокупности, вычисленное по данным выборки или точечной оценки называют статистическую оценку, которая определяется одним числом.
Определение. Точечная оценка называется несмещенной, если ее математическое ожидание (или ее среднее значение, взятое по всем возможным выборкам данного объема) равно оцениваемому параметру генеральной совокупности.
Определение. Оценка называется смещенной, если ее математическое ожидание не равно оцениваемой параметру генеральной совокупности.
Определение. Несмещенной оценкой генеральной совокупности средней служит выборочная средняя.
Для 
.
Определение. Дисперсия выборки 
является смещенной оценкой генеральной дисперсии.
Так как оценка дисперсии смещена, то следовательно 
, 
, поэтому находят несмещенную ошибку дисперсии.
Определение. Несмещенной оценкой 
является исправленная выборочная дисперсия и обозначается:
или 
Определение. Среднее квадратическое выборки также является смещенной оценкой .
Определение. Точная оценка называется состоятельной, если ее точность повышается по мере увеличения объема выборки (n). А при 
, она полностью совпадает с оцениваемым параметром генеральной совокупности.
Определение. Оценка называется эффективной, если она имеет наименьшую дисперсию среди всех возможных оценок, вычисленных по выборкам одного объема.
Всеми перечисленными свойствами обладает оценка генеральной средней величины по среднему значению выборки 
;
1. несмещенность, так как 
;
2. состоятельность, при 
;
3. эффективность - более эффективная оценка, чем другие известные выборочные характеристики.
§3. Интервальные оценки
Определение. Разность между характеристиками выборки и генеральной совокупности называют ошибкой репрезентативности. Обозначается 
.
Для:
1. генеральной совокупностью
2. доли признака
Определение. Предел, которого не превышает по абсолютной величине ошибка репрезентативности, называется предельной ошибкой выборки. 
- предельная оценка выборки. 
.
|
Из за большого объема этот материал размещен на нескольких страницах:
1 2 3 4 5 6 |
Основные порталы (построено редакторами)