Электродинамика (стр. 3 ) | Авторская платформа Pandia.ru

Партнерка на США и Канаду по недвижимости, выплаты в крипто

30% recurring commission
Выплаты в USDT
Вывод каждую неделю
Комиссия до 5 лет за каждого referral

Напряженность электрического поля, создаваемого в вакууме (e=1) первым зарядом q1:

вторым зарядом q2:

Вектор (рис.3) направлен по силовой линии от заряда q1, так как заряд q1 положителен; вектор направлен так же по силовой линии, но к заряду q2, так как заряд q2 отрицателен.

Абсолютное значение вектора найдем, используя теорему косинусов:

, (3)

где a - угол между векторами и может быть найден из треугольника со сторонами r1, r2 и d,

Производя подстановку в уравнение (3) и вынося общий множитель за знак корня, получим:

Подставив численные значения, получим:

Пример 3.

Тонкое кольцо радиусом R=8 см несет заряд, равномерно распределенный с линейной плотностью t=10-8 Кл/м. Какова напряженность электричес-кого поля в точке, равноудаленной от всех точек кольца на расстояние r=10 см?

Дано: R=8 см =8×10-2 м, t=10-8 Кл/м, r=10 см =10×10-2 м.

Найти E.

Решение.

Рис. 4

Поле создано зарядом, распределенным по тонко-му кольцу заданного ради-уса. Оно не обладает дос-таточной симметрией даже при равномерном распре-делении заряда (нельзя указать точную конфигу-рацию силовых линий), поэтому для расчета на-пряженности можно ис-пользовать только прин-цип суперпозиции

Разобьем кольцо на элемен-тарные участки dl (рис.4,а).

Каждый такой участок можно принять за точечный заряд, несущий заряд dq=tdl. Элементарный заряд dq, находящийся на элементе dl, создает в данной точке С на расстоянии r вектор напряженности , равный по модулю:

где r- расстояние от элемента заряда dq до точки поля С.

НЕ нашли? Не то? Что вы ищете?

Векторы от всех элементарных участков образуют симметричный конический веер (рис.4,б). Из соображений симметрии можно заключить, что результирующий вектор направлен вдоль оси кольца. Каждый из составляющих векторов вносит в результирующий вектор вклад , равный по модулю:

dЕ1=dЕcosj

или

, (4)

при этом составляющие , параллельные плоскости кольца, в сумме дают нуль. Проинтегрировав по всему кольцу уравнение (4) и заменив cosj через r и R (), получим абсолютное значение результирующего вектора :

Подставив численные значения, получим:

Пример 4.

Точечный заряд Q=-2×10-10 Кл расположен на продолжении оси диполя, электрический момент которого Pq=1,5×10-10 Кл×м, на расстоя-нии r=10 см от центра (ближе к положи-тельному заряду диполя). Какую работу надо совершить, чтобы перенести этот заряд в симметрично расположенную точку по другую сторону диполя? Плечо диполя l<<r (рис. 5).

Дано: Q=-2×10-10 Кл, Рq=1,5×10-10 Кл×м, r=10 см =10×10-2 м, l<<r.

Найти: А.

Решение.

Работа А*, совершаемая внешними силами при перемещении заряда в электрическом поле, равна работе сил поля, взятой с обратным знаком:

, (5)

где j1, j2 – потенциалы соответственно начальной и конечной точек.

Поле создается двумя точечными зарядами +q и –q диполя, и потенциалы точек 1 и 2 следует искать методом суперпозиции. Как видно из рисунка 5, точка 1 находиться на расстоянии от положительного заряда и на расстоянии от отрицательного заряда. В соответствии с этим потенциал первой точки:

, (6)

где , – потенциалы в первой точке, созданные соответственно положительным и отрицательным зарядами:

Аналогично потенциал второй точки:

. (7)

Приведем к общему знаменателю каждое из выражений (6) и (7):

(8)

. (9)

Если учесть, что ql=Pq и при r >>l членами можно пренебречь, то выражения (8) и (9) примут вид:

Подставив эти выражения в уравнении (5), получим:

Пример 5

Электрическое поле создано длинным цилиндром радиусом R=1 см, равномерно заряженным с линейной плотностью t=20 нКл./м. Определить разность потенциалов двух точек этого поля, находящихся на расстоянии а1=0,5 см и а2=2 см от поверхности цилиндра в средней его части (рис. 6).

Дано: R=1 см =10-2 м, t=20 нКл/м =20×10-9 Кл/м, а1=0,5 см =5×10-3 м, а2=2 см =2×10-2 м.

Найти: Dj.

Решение.

Для определения разности потенциалов воспользуемся соотношением между напряженностью поля и изменением потенциала:

-qradj.

Для поля с осевой симметрией, каким является поле цилиндра, это соотно-шение можно записать в виде:

или .

Проинтегрировав это выражение, найдем разность потенциалов двух точек, отстоящих на расстояниях r1 и r2 от оси цилиндра:

или . (10)

Так как цилиндр и точки взяты вблизи его средней части, то для выражения напряженности поля можно воспользоваться формулой напряженности поля, созданного бесконечно длинным цилиндром: