Задача о преломлении света
Согласно принципу Ферма, луч света, выходящий из точки А и попадающий в точку В, избирает путь, время прохождения которого минимально. В однородной среде скорость света постоянна, а свет распространяется по прямым. Если же среда неоднородна, то скорость света изменяется от точки к
точке, а траектория кривой искривляет - Рис. 3 ся. Пусть средой будет атмосфера. Так как плотность воздуха зависит от высоты y над уровнем моря, то естественно предположить, что скорость света v зависит от y и выражается с помощью функции известной v(y). Определим траекторию луча света из данной точки А в данную точку В. В вертикальной плоскости, проходящей через точки А и В, выберем прямоугольную систему координат так, что ось Ox горизонтальна и расположена на уровне моря. Координаты точек А и В заданы A(a,y ),B(b,y ). Будем считать, что луч распространяется по гладкой кривой y(x), x [a,b] (рис. 3).
При сделанных предположениях имеем :
, где 
− дифференциал длины кривой y=y(x). Поэтому 
и время, необходимое для прохождения света от А к В, выражается интегралом 
. (5)
Задача состоит в определении функции y=y(x), удовлетворяющей условиям y(a)=y ,y(b)=y , чтобы интеграл (5) принимал наименьшее значение.
Замечание. Сравнив выражения (4) и (5), отметим, что задача о брахистохроне − частный случай задачи о преломлении света. Этот факт, подмеченный впервые И. Бернулли, представляет собой так называемую оптико-ме-ханическую аналогию.
Задача о геодезических линиях
На поверхности, заданной в прямоугольной системе координат Охуz уравнением 
, можно провести множество кривых, соединяющих точки А и В. Найдем кратчайшую из них.
Вначале дадим одно определение.
Наименьшие по длине линии между двумя точками на некоторой поверхности называются геодезическими линиями этой поверхности.
Например, геодезическими линиями на плоскости являются прямые, геодезическими линиями на сфере − дуги большого круга.
Итак, предположим, что поверхность является гладкой и искомая кривая может быть задана уравнениями 
, где 
– гладкие функции. Тогда ее длина L равна:
= 
.
Задача свелась к определению гладких на отрезке [a,b] функции у(х), z(x), что 
, и выписанный выше интеграл принимает минимальное значение.
Понятие функционала
Говорят, что задан функционал 
, если каждой функции 
из некоторого класса 
поставлено в соответствии определенное число , что записывается как
Основными задачами вариационного исчисления является нахождение наибольших и наименьших значений функционалов от линий и поверхностей, выражаемых некоторыми определенными интегралами.
Если функционал для некоторой линии или поверхности имеет значение не меньшее (не большее), чем для всех близких к ней линий или поверхностей, то говорят, что для этой линии или поверхности функционал имеет экстремум.
Пример 1..Определим функционал как 
. Тогда
Пример 2. Поставим в соответствие каждой спрямляемой кривой на плоскости определенное число – ее длину. Если уравнение кривой задано уравнением , то функционал длины дуги может быть найден по следующей формуле, при этом длина кривой представляет собой функционал, определенный на множестве спрямляемых кривых:
Пример 3. Поставив в соответствие каждой спрямляемой кривой абсцис-су ее центра тяжести, мы опять-таки получим некоторый функционал:
.
Аргументом функционала 
является функция вещественной переменной 
.
Аргументом функционала может быть и функция многих переменных или упорядоченный набор функций.
Область определения функционала представляет собой некоторый класс функций. Поэтому для задания области определения функционала нужно не только указать числовое множество, на котором определены такие функции, но и сформулировать дополнительные требования, предъявляемые к этим функциям, а именно: непрерывность, дифференцируемость, равенство значений функций на концах некоторого интервала и др.
Пример 4. Областью определения функционала может являться класс дифференцируемых функций с закрепленными границами, то есть принимающих одинаковые значения на каждом из концов интервала [a, b].
Задавая функционал, можно потребовать, чтобы функции были определены на отрезке [0,1], являлись непрерывными и имели непрерывные производные. Этому классу удовлетворяют функции вида 
. Они принимают одинаковые значения на каждом из концов интервала [0, 1] и принадлежат к классу функций с закрепленными границами.
Таким образом, можно сказать, что функционалы − функции, в которых роль независимого переменного играют кривые или функции.
Приращением или вариацией аргумента функционала называется разность между двумя функциями данного класса 
Изменение функции (близость) считается малым порядка 
, если для малого положительного числа 
имеет место:
………………
для всех 
Функционал 
называется линейным, если для любых чисел 
и любых функций 
из данного класса
.
Вариацией функционала называется линейная по отношению к вариации аргумента часть его приращения. Удобно следующее представление вариации функционала
(6)
Многие характеристики твердых тел, такие, как моменты инерции, координаты центра тяжести некоторой однородной кривой или поверхности, также являются функционалами, поскольку их значения определяются выбором кривой или поверхности; функционалом является кинетическая энергия материального тела. Многие законы механики, физики носят экстремальный характер, то есть, например, среди всех допустимых траекторий истинная траектория доставляет экстремум некоторому функционалу.
Пример 5. Линейные функционалы в пространстве 
могут выражаться в виде определенных интегралов и иметь вид:
где 
− фиксированная функция.
|
Из за большого объема этот материал размещен на нескольких страницах:
1 2 3 4 5 |
Основные порталы (построено редакторами)