Элементы вариационного исчисления (стр. 4 )

(14)

Решение этого уравнения не содержит элементов произвола и поэтому не удовлетворяет граничным условиям . Лишь в исключительных случаях, когда кривая (9) проходит через граничные точки, существует кривая, на которой может достигаться экстремум.

2 Рассмотрим случай, когда зависит от линейно:

(15)

Уравнение Эйлера в этом случае имеет вид

(16)

Кривая, определяемая уравнением (16), не удовлетворяет граничным условиям, и, значит, вариационная задача не имеет решения в классе непрерывных функций.

Если в некоторой области , , то выражение является полным дифференциалом и функционал
не зависит от пути интегрирования. Значение функционала совпадает на всех допустимых кривых. Вариационная задача теряет смысл.

3 зависит только от , . Уравнение Эйлера имеет вид

В этом случае экстремалями являются всевозможные прямые линии

где – произвольные постоянные.

4 Функция не зависит от у, т. е. . В этом случае уравнение Эйлера имеет вид: , отсюда . Здесь – произвольная постоянная. Последнее уравнение является дифференциальным уравнением первого порядка. Экстремали задачи находятся его интегрированием.

5 Функция не зависит явно от , т. е. . В этом случае уравнение Эйлера принимает вид . Преобразуем уравнение, умножив обе части на , в результате получим: следовательно , где − произвольная постоянная. Экстремали задачи находятся его интегрированием.

Примеры решения вариационных задач

Рассмотрим некоторые примеры решения задач, в которых требуется найти функции, на которых заданный функционал принимает экстремальное значение.

Пример 6. На каких кривых может достигать экстремума функционал, если

Решение.

Здесь , так что уравнение Эйлера имеет вид (6), т. е. Общее решение уравнения Эйлера имеет вид Граничные условия дают систему линейных уравнений для определения произвольных постоянных:

НЕ нашли? Не то? Что вы ищете?

Следовательно, экстремум может достигаться лишь на кривой .

Пример 7. Найти экстремали функционала , удовлетворяющие граничным условиям .

Решение. Функция не зависит от , т. е. это случай интегрируемости уравнения Эйлера п.1. Уравнение Эйлера имеет вид . Экстремаль не удовлетворяет условию у(0) =1, так как у(0) = 0. Следовательно, данная вариационная задача решения не имеет.

Замечание. При других граничных условиях, например, у(0) = 0, у(3) =1 экстремаль у = х/3 удовлетворяет этим граничным условиям, следовательно, в этом случае данный функционал достигает на этой прямой экстремума и вариационная задача имела бы решение.

Пример 8. Исследовать на экстремум функционал

Решение. Здесь функция линейно зависит от , значит это ситуация п.2. Уравнение Эйлера имеет вид .

Имеем , .

Следовательно, подынтегральное выражение есть полный дифференциал, а интеграл не зависит от пути интегрирования, по какой бы кривой , проходящей через точки и , мы не интегрировали. Вариационная задача не имеет смысла.

Пример 9. Найти экстремальные кривые функционала.
при условиях .

Этот функционал определяет длину кривой, соединяющей точки () и (). Геометрически задача сводится к разысканию кратчайшей линии, соединяющей данные точки (см. рис. 4). Составим уравнение Эйлера:

Рис. 4

Уравнение Эйлера имеет вид: Таким образом, экстремалями является семейство прямых. Удовлетворяя граничным условиям, получаем:

Пример 10. Найти экстремальные кривые функционала:

Находим: Отсюда уравнение Эйлера в данном конкретном случае будет иметь вид Семейство экстремальных кривых имеет вид: , а решение нашей задачи

Пример 11 Задача о брахистохроне. Найти кривую, проходящую через две заданные на плоскости точки при условии минимума времени движения материальной точки по данной кривой в поле сил тяжести, считая связь идеальной (трения нет) – см. рис. 3.

Решение. Вариационная задача описывается функционалом и граничными условиями.