Обобщение метода Эйлера на более сложные случаи
функционалов
Все сказанное выше непосредственно обобщается на случай функционалов, зависящих от производных высшего порядка, а также от нескольких функций.
Пусть имеем функционал, зависящий от производных до n порядка включительно:
(17)
где F – функция, дифференцируемая n+2 раза по всем аргументам, 
а граничные условия имеют вид
(18)
Экстремалями функционала (17) при граничных условиях (18) являются интегральные кривые уравнения Эйлера, имеющего в этом случае вид:
Это дифференциальное уравнение имеет порядок 
. Его общий интеграл содержит произвольных постоянных и необходимо иметь еще граничных условий. В простейшем случае эти условия сводятся к заданию функции и ее производных до порядка (
) на концах промежутка, например (18).
Если рассматривается функционал, зависящий от нескольких функциональных аргументов
,
,
то система уравнений Эйлера имеет вид:
(19)
Экстремали функционала в этом случае находятся из системы дифференциальных уравнений (19).
Для понимания существа задач и методов вариационного исчисления установим их связь с задачами классического анализа, т. е. с исследованием на экстремум функций n переменных. С этой целью рассмотрим функционал:
, при условии 
.
Разобьём отрезок [a,b] точками 
на 
равных частей и вместо кривой 
рассмотрим ломаную с вершинами
. Тогда очевидно, что сам функционал можно приближенно заменить суммой:
,
Так как каждая ломаная однозначно определяется ординатами своих вершин (y1,… yn), то выражение 
можно трактовать как функцию n переменных y1,…, yn.
Таким образом, вариационную задачу можно приближенно рассматривать как задачу об отыскании экстремума функции многих переменных. Этот прием часто использовал Л. Эйлер. Заменяя гладкие кривые ломаными, он сводил задачу о нахождении экстремума функционала к нахождению экстремума функции n всех переменных, затем с помощью предельного перехода при 
получал точные решения. Таким образом, функционалы можно рассматривать как «функции от бесконечного числа независимых переменных», а именно значений функции в отдельных точках, а вариационное исчисление − как соответствующий аналог дифференциального исчисления.
Метод Ритца решения вариационных задач
Вариационные постановки задач теории упругости, гидромеханики привели к созданию новых приближенных методов отыскания экстремумов функционалов. Такие методы были разработаны русскими учеными И. Г. Бубновым и Б. Г. Галёркиным, швейцарским физиком В. Ритцем. Эти подходы основаны на выделении из бесконечной области определения функционала некоторого конечномерного подпространства и на сведении исходной задачи к задаче на экстремум функции многих переменных.
В настоящее время широкое развитие получили методы подхода к решению задач на экстремум ‑ методы, которые обходят применение дифференциальных уравнений. В основе этих методов лежит идея построить искомую функцию, дающую экстремум функционала, при помощи некоторого предельного процесса, исходя непосредственно из вида того интеграла, экстремум которого ищется.
Основная идея метода Ритца заключается в следующем. Пусть поставлена вариационная задача для функционала на отыскание его минимума. Предполагается, что и функция F непрерывна по всем аргументам.
Для решения поставленной задачи задается полная последовательность линейно независимых функций 
которые выбирают так, чтобы
Решение представляется в виде
Вначале ищется экстремум для функции 
.N – фиксированное число. Выбирают коэффициенты Сn так, чтобы функция доставляла минимум функционалу J. В интеграле все функции заданы. Выполнив интегрирование, получают вполне определенную функцию Ф(С1, С2, … , CN). Коэффициенты Сi надо выбрать так, чтобы функция Ф принимала минимальное значение. Необходимым условием экстремума функции Ф будет
= 0, n = 1,2,…,N . (20)
Система уравнений (20) является нелинейной относительно неизвестных С1,С2, … ,СN. Решив ее, находят коэффициенты, которые определяют решение экстремальной задачи . Таким образом, может быть построена минимизирующая последовательность y1 (х), y2(х), … , уN(х). Если эта последовательность сходится к некоторой предельной функции, то она является решением исходной задачи:
.
Решение задачи существенно упрощается, когда F – квадратичная функция переменных у и у'. В этом случае приходится решать систему линейных алгебраических уравнений.
Чаще всего в качестве базисных функций берутся системы функций степенные или тригонометрические функции:
В заключение следует отметить, что вариационные постановки задач стимулировали развитие численных методов исследования задач математической физики, среди которых одно из главных мест занимает метод конечных элементов, превратившийся с появлением мощных компьютеров в основной инструмент исследования и проектирования конструкций.
О достаточных условиях экстремума функционала
Необходимое условие экстремума функционала состоит в том, что первая вариация этого функционала обращается в ноль. Это обобщает необходимое условие экстремума функции многих переменных. Достаточное условие экстремума функции многих переменных основывается на свойствах производных второго порядка или дифференциала второго порядка функции в точке, подозрительной на экстремум. В вариационном исчислении возникает аналогичная ситуация. Определяется вторая вариация функционала, это понятие обобщает понятие дифференциала второго порядка для функции. Достаточные условия экстремума строятся на основании поведения второй вариации функционала вблизи исследуемой экстремали. Изложение этого материала будет приведено во второй части этого пособия.
Тесты и примеры для решения
1 Пространству 
принадлежат функции:
1) непрерывные; 2) возрастающие; 3) убывающие; 4) постоянные.
2 Пространству 
принадлежат функции:
1) имеющие непрерывные первые производные; 2) возрастающие;
3) убывающие; 4) постоянные.
3 Пространству 
принадлежат функции:
1) имеющие непрерывные первые и вторые производные;
2) возрастающие; 3) убывающие; 4) постоянные.
4 Расстоянием нулевого порядка между любыми двумя функциями 
и 
, принадлежащими классу 
непрерывных функций, называется число:
1) 
; 2) 
3) 
; 4) 
5 Расстояние между функциями 
и f1(x)=2x в пространстве 
равно:
1) 0 2) 1 3) 3 4) 8.
6 Расстояние между функциями 
и 
в пространстве 
равно:
1) 1,5; 2) 2; 3)4; 4) 0.
7 Значение функционала 
в точке 
,
, 
равно:
1) 0 2) 2 3) 20 4) 1.
8 Значение функционала
в точке 
равно:
1) 0 2) 12 3) 48 4) 68.
9 Значение функционала 
в точке 
равно:
1) 0 2) 1 3) 2 4) 1/3.
Найти экстремали функционалов:
10 
11 
12 
13 
14 
15 
16 
17 
18 
19 
20 
|
Из за большого объема этот материал размещен на нескольких страницах:
1 2 3 4 5 |
Основные порталы (построено редакторами)