РOCЖЕЛДОР
Федеральное государственное бюджетное образовательное
учреждение высшего профессионального образования
«Ростовский государственный университет путей сообщения»
(ФГБОУ ВПО РГУПС)
______________________________________________________________
Т. В. Суворова, О. А. Беляк
ЭЛЕМЕНТЫ ВАРИАЦИОННОГО ИСЧИСЛЕНИЯ
Учебно-методическое пособие
Ростов-на-Дону
2011
УДК 517.4(07) + 06
Суворова, Т. В.
Элементы вариационного исчисления: учебно-методическое пособие для студентов технических и экономических специальностей / Т. В. Суворова, О. А. Беляк; Рост. гос. ун-т путей сообщения. ─ Ростов н/Д, 2011. ─ 28 с.: ил. ─ Библиограф.: 8 назв.
В учебно-методическом пособии приведены первоначальные сведения о задачах и предмете вариационного исчисления. Рассматриваются необходимые условия существования экстремума функционала, изложение теории сопровождается примерами, а также заданием для самостоятельной работы студентов.
Предназначено для студентов технических и экономических специальностей РГУПС.
Рецензент д-р физ.-мат. наук, проф. А. Н. Хоперский (РГУПС)
Учебное издание
Беляк Ольга Александровна,
ЭЛЕМЕНТЫ ВАРИАЦИОННОГО ИСЧИСЛЕНИЯ
Учебно-методическое пособие
А. Гончаров
Техническое редактирование и корректура М. А. Гончаров
Подписано в печать 25.11.2011. Формат 60
84/16.
Бумага газетная. Ризография. Усл. печ. л. 1,63.
Уч.-изд. л. 1,55. Тираж экз. Изд. № 000. Заказ №
Ростовский государственный университет сообщения.
Ризография РГУПС.
____________________________________________________________________ Адрес университета: 344038, г. Ростов н/Д, пл. Народного ополчения, 2.
© В., А., 2011
© Ростовский государственный университет
путей сообщения, 2011
Библиографический список
2 Ванько, В. И. Вариационное исчисление и оптимальное управление / В. И. Ванько, О. В. Ермошина, Г. Н. Кувыркин. – М.: изд-во МГТУ им. Баумана, 2006. – 488 с.
3 Вуколов, В. А. Сборник задач по математике для втузов. Ч. 4. Методы оптимизации / В. А Вуколов, А. В. Ефимов, В. М. Земсков. – М: Наука, 1990. – 243 с.
4 Гельфанд, И. М. Вариационное исчисление / И. М. Гельфанд, С. В. Фомин. – М.: Физматгиз, 1961. – 228 с.
5 Говорухин, В. Н. Компьютер в математическом исследовании / В. Н. Говорухин, В. Г. Цибулин – СПб.: Питер, 2001. – 258 с.
6 Краснов, М. А. Вся высшая математика Т. 6 / М. А. Краснов, А. И. Киселев, Г. И. Макаренко. – М.: Эдиториал, 2003, – 398 с.
7 Математическая энциклопедия Т. 1 / под ред. И. М. Виноградова. – М: Советская энциклопедия, 1982, – 1183 с.
8 Эльсгольц, Л. Э. Дифференциальные уравнения и вариационное исчисление / Л. Э. Эльсгольц. – М.: Эдиториал, 2000. – 263 с.
9 Янг, Л. Лекции по вариационному исчислению и теории оптимального управления / Л. Янг. – М.: Мир, 1974. – 488 с.
Содержание
Введение …………………………………………………………………….……….3
Задачи, приводящие к вариационным проблемам………………………………...3
Понятие функционала ……………………………………………….……………...8
Функционалы и функциональные пространства ………………………….……..10
Необходимые условия экстремума функционала ……………………………….11
Простейшая вариационная задача. Метод Эйлера……………………….............12
Некоторые случаи интегрируемости уравнения Эйлера ………………………..15
Примеры решения вариационных задач ………………………………………....16
Обобщение метода Эйлера на более сложные случаи функционалов…….........20
Метод Ритца решения вариационных задач...........................................................22
О достаточных условиях экстремума функционала …………………………….24
Тесты и примеры для решения................................................................................24
Библиографический список………………………………………………………..27
В мире нет ничего, в чем не был бы виден
смысл какого-либо максимума или минимума.
Л. Эйлер
Введение
Наряду с задачами, в которых требуется определить максимальное или минимальное значение некоторой функции, в математике при моделировании разнообразных процессов приходится определять максимальное и минимальное значения более сложных математических объектов, называемых функцио-налами.
Вариационное исчисление является разделом математики, в котором изучаются методы, позволяющие находить максимальные и минимальные значения функционалов.
Как часть математики вариационное исчисление начало развиваться с конца XVII века и сформировалось в самостоятельную математическую дисциплину после основополагающих работ действительного члена Петербургской академии наук Л. Эйлера (1707−1783), которого можно считать отцом вариационного исчисления.
Задачи, приводящие к вариационным проблемам
На становление и формирование вариационного исчисления большое воздействие оказали следующие математические проблемы.
Примеры успешного решения задач на поиск экстремума известны уже с древней истории.
Задача Дидоны
В XI веке до н. э. финикийская царевна Дидона и несколько ее спутников, спасаясь от тирской знати, высадились на африканском берегу Средиземного моря. Решив здесь поселиться, она попросила у местного правителя немножко земли. Желая над ней посмеяться, он предложил ей столько земли, сколько сможет охватить шкура быка. Дидона согласилась и, разрезав шкуру на тонкие полоски и связав из них длинный ремень, ограничила довольно значительный участок на берегу моря. Так был заложен город Карфаген.
Задача может быть сформулирована так: найти такую кривую заданной длины L, которая огра
ничивает наибольшую площадь, примыкающую к заданной прямой.
Математическая формулировка такова (см. рис. 1): пусть y(x) − гладкая кривая, т. е. она непрерывно дифференцируемая и 
. (1)
Тогда ее длина выражается формулой
, (2)
a площадь, ограниченная кривой y(x) и осью абсцисс имеет выражение 
. (3)
Рис. 1
Требуется найти такую гладкую функцию y = y(x), которая удовлетворяет условиям (1) и (2), а также доставляют максимум выражению (3).
Такая задача является задачей вариационного исчисления.
Задача о брахистохроне
Брахистохрона − кривая скорейшего спуска. Задача о её нахождении была поставлена в 1696 году Иоганном Бернулли. Заключается она в следующем: среди плоских кривых, соединяющих две данные точки О и В, не лежащих на одной вертикали, найти ту, двигаясь по которой под действием силы тяжести, материальная точка переместится из верхней точки в нижнюю за кратчайшее время (см. рис. 2).
Эту задачу можно сформулировать и так: спроектировать крышу дома так, чтобы капли дождя скатывались с конька крыши за наименьший промежуток времени (вспомните форму китайских крыш).
Предположим, что начальная скорость точки (капли) равно нулю, а силы трения отсутствуют. К моменту, когда точка переместится вдоль оси Оy на расстояние y, она потеряет потенциальную энергию, которая уменьшится на величину 
(m-масса точки, g-ускорение свободного падения). Кинетическая энергия при этом увеличивается на Рис. 2 
(v − скорость точки). В силу закона сохранения энергии (при отсутствии трения) имеем:
.
Следовательно, 
, 
(выбираем знак “+”, то есть скорость возрастает). Далее полагаем, что траектория движения есть кривая y = y(x), причем y(x) ‑ гладкая функция определенная на отрезке 
. Тогда
,
где t − время, ds-дифференциал длины дуги. Поэтому
.
Приходим к дифференциальному уравнению
.
Из этого уравнения находим время, необходимое для перехода из точки О в точку В:
. (4)
При этом известно, что 
, то есть заданы краевые условия. Таким образом, нужно найти гладкую функцию y(x), удовлетворяющую краевым условиям и для которой t принимает минимальное значение при заданных краевых условиях.
Решением задачи о брахистохроне является дуга циклоиды с горизонтальным основанием, точка возврата которой находится в точке О, или иными словами, имеющая вертикальную касательную в точке О.
|
Из за большого объема этот материал размещен на нескольких страницах:
1 2 3 4 5 |
Основные порталы (построено редакторами)