Функционалы и функциональные пространства

Рассмотрим более общий пример. Пусть – некоторая дифференцируемая на отрезке функция, выражение представляет собой функционал.

Каждую функцию , принадлежащую какому-либо классу, будем рассматривать как точку некоторого пространства.

Пространства, элементами которых являются функции, называются функциональными пространствами.

Определим следующие функциональные пространства.

1 Пространство – пространство всех непрерывных функций, определенных на отрезке .

Сложение функций и умножение их на число определено обычным образом, а норма функции определяется как

Поэтому, в пространстве расстояние между двумя функциями не больше , если расстояние между графиками функций при любом фиксированном не превосходит.

2 Пространство – пространство функций, определенных на отрезке , имеющих непрерывную первую производную. Норма вводится по формуле :

3 Пространство – пространство функций, определенных на отрезке , имеющих непрерывные производные до n-го порядка включительно. Норма вводится по формуле

Расстояние между функциями находится в заданном функциональном пространстве и является нормой их разности.

Необходимые условия экстремума функционала

Рассмотрим простейший функционал .

Определение. Говорят, что функционал достигает относительного экстремума для кривой у(х), лежащей в области В, принадлежащей классу C(1) , если величина этого функционала для у(х) не меньше (не больше) его величины для любых других кривых класса C(1).

Функционал имеет локальный максимум при , если для любой функции, близкой к , выполняется неравенство . Если близость нулевого порядка, то максимум называется сильным, если первого и выше, то слабым. Аналогично определяется минимум функционала.

НЕ нашли? Не то? Что вы ищете?

Как и для функций, необходимыми условиями существования экстремума непрерывного функционала, имеющего вариацию, является равенство нулю вариации функционала.

Действительно, пусть экстремальное значение функционала достигается на кривой , а кривая близка к . Рассмотрим семейство функций

На кривых этого семейства функционал будет просто функцией переменной , т. е.Учитывая необходимые условия локального экстремума функции одной переменной при получим при В силу представления (1) для вариации функционала

Отсюда следует необходимое условие экстремума функционала, а именно при локального экстремума вариация функционала должна быть равной нулю

(7)

Простейшая вариационная задача. Метод Эйлера

Рассмотрим простейший функционал .

, (8)

здесь – заданная функция трех аргументов. Предполагается, что она непрерывна вместе с производными второго порядка в некоторой области D плоскости и при любых значениях аргумента .

Значения функции на концах промежутка интегрирования заданы:.

Теорема 1 (уравнение Эйлера). Для того чтобы функционал , определенный на множестве функций и удовлетворяющих условиям , достигал экстремума на данной функции , необходимо, чтобы эта функция удовлетворяла уравнению Эйлера .

Доказательство

Для рассматриваемого функционала функция будет иметь вид

, а ее производная по переменной будет равна

(9)

Рассмотрим отдельно производные, входящие в (3):

(10)

Учитывая второе равенство (4), получим

В силу граничных условий вариация на границах. Поэтому условие равенства нулю вариации функционала, согласно (8), примет вид

Поскольку это условие должно выполняться для произвольной вариации , отсюда следует уравнение

, (11)

или в развернутом виде

. (12)

Уравнение (11), это одно из основных уравнений вариационного исчисления − уравнение Эйлера для нахождения функций, на которых функционал принимает экстремальное значение. Уравнение (12) представляет собой уравнение второго порядка, и его общий интеграл содержит две произвольные постоянные, которые определяются из граничных условий.

Интегральные кривые уравнения Эйлера называются экстремалями. Таким образом, экстремаль − эта та кривая, на которой может достигаться экстремум функционала (3). Так как уравнение Эйлера дополняется не начальными, а граничными условиями, то теорема Коши о существовании и единственности решения дифференциального уравнения здесь неприменима. Экстремаль не обязательно существует, а если существует, то не обязательно единственна. Все зависит от вида уравнения Эйлера и разрешимости системы уравнений для граничных условий. Таким образом, краевая задача

(13)