По данной схеме запишем уравнение состояния и матрицы коэффициентов

2. Входное воздействие в виде линейной функции.

Линейная функция записывается как

Полагаем дифференцируя находим

Составляем схему и систему уравнений состояния

а матрицы коэффициентов будут следующими

3. Входное воздействие в виде полиномиальной функции.

В общем виде полиномиальная функция имеет вид

Обозначим и дифференцируем эту функцию по времени

Схема в переменных состояния и система уравнений для полиномиальной функции

4. Входное воздействие в виде экспоненциальной функции.

Внешнее экспоненциальное воздействие описывается функцией

Пусть тогда Откуда сразу следует схема




5. Входное воздействие в виде синусоидальной функции.

Гармонический процесс описывается уравнениями

Или окончательно, приняв обозначения, и получаем


Пример.

Решение однородного уравнения состояния (скалярного)

С введением расширенных вектора состояния и матрицы коэффициентов уравнение состояния становится однородным

то есть принимает более простой вид, что сказывается на процессе его решения в лучшую сторону. В дальнейшем рассматриваем возможные методы получения решения данной системы уравнений. Для большей наглядности начнём со скалярного уравнения

Получить его решение можно тремя способами: решением во временной области, решением с применением преобразования Лапласа и получением решения на основе ряда Тейлора. Рассмотрим подробнее эти способы.

Решение во временной области.

НЕ нашли? Не то? Что вы ищете?

Здесь действуем так, как это предписывает математика: разделяем переменные и интегрируем

Постоянную интегрирования С находим из начальных условий. При t=0, x должен быть равен x(0).

x(0)=C или .

Решение с использованием преобразования Лапласа.

Подвергаем решаемое уравнение преобразованию Лапласа и решаем его относительно X(p)

Затем используем обратное преобразование

В итоге

Решение с использованием ряда Тейлора.

Ряд Тейлора для функции , как известно, записывается следующим образом

Разыщем значения производных, используя решаемое уравнение. На его основе

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Подставим в ряд Тейлора найденные значения производных, получим

поскольку в скобках стоит ряд Тейлора для экспоненты. Рассмотренные методы решения применяются и в случае матричного уравнения состояния.

Решение однородного уравнения состояния (матричного)

Решение во временной области.

Здесь, последовательно исключая переменные состояния, приходим к одному дифференциальному уравнению n-го порядка относительно какой-то одной выбранной переменной состояния, и дальше его решаем известными методами. Например, разберёмся с системой, которая в скалярной форме выглядит следующим образом

Продифференцируем первое уравнение

Из первого уравнения находим переменную и подставляем её в продифференцированное уравнение

Далее уравнение решается или исследуется известными методами. Как видим, подход довольно трудоёмкий. Особенно трудности увеличиваются с ростом числа уравнений.

Решение на основе преобразования Лапласа.

Применим преобразование Лапласа к уравнениям решаемой системы, получим

Преобразуем далее

Или

Матрица называется переходной матрицей и обозначается

Для расчёта процессов во времени необходимо воспользоваться обратным преобразованием Лапласа применительно к переходной матрице . Тогда получим

Вычисляется обратное преобразование традиционно.

Решение на основе ряда Тейлора.

Решаем уравнение вида

где - матрица постоянных коэффициентов, а - расширенный вектор состояния системы.

Для нахождения решения этой системы уравнений воспользуемся рядом Тейлора

Из за большого объема этот материал размещен на нескольких страницах:
1 2 3 4 5