Метод пространства состояний в теории непрерывных систем автоматического управления (стр. 4 )

Под функцией в данном ряде понимаем наш вектор состояния , а под её производными – производные от вектора состояния, то есть следующее

Производные вектора состояния получаем, дифференцируя уравнение состояния

………………………………. .

Подставляем найденные производные

Здесь та же самая переходная матрица, но во временной области, и вычисляемая через ряд Тейлора.

К диагонализации матрицы коэффициентов.

Если матрица коэффициентов в расширенном уравнении состояния

диагональная, то его решение существенно облегчается. Будем рассматривать уравнение состояния второго порядка, для уменьшения количества преобразований

Как известно, его решением будет

Анализ этого результата говорит о том, что решение исходной системы определяется двумя функциями, а именно – двумя экспонентами и .

Оказывается, что решением такой системы могут быть и , связанные следующим образом

где – постоянное число. Убедимся в этом, для этого подставим в исходную систему уравнений. Получим

Разделим первое уравнение на второе

Откуда получаем квадратное уравнение для нахождения

Оказывается, что таких постоянных существуют даже две.

Рассмотрим геометрическую интерпретацию получившегося результата. На фазовой плоскости равенство определяет две прямые линии, проходящие через начало координат

Если в начальный момент времени координаты изображающей точки будут на одной из данных линий (пунктирных на рисунке), то и в любые последующие моменты времени точка также останется на той же прямой. Её фазовая траектория будет прямой линией.

Если же в начальный момент времени точка не находилась ни на одной из прямых, то она на них не попадёт, и её фазовая траектория будет какой-то кривой линией.

Интересным фактом также будет и следующее. Здесь используется свойство линейности системы. (Если система линейная и в ней идут сразу несколько процессов управления, то каждый из них протекает независимо от других.)

Пусть на фазовой плоскости отмечено произвольное начальное положение изображающей точки с координатами .

Спроецируем начальную точку на прямые и параллельно им. Линии и станем рассматривать как новые координатные оси. Это значит, что мы перешли в новую систему координат, например .

Теперь начальные точки для и располагаются на разных прямых, и с них невозможно уйти всем последующим положениям изображающих точек. Получили, что общий процесс в управляемой системе распался на два процесса, которые на фазовой плоскости протекают по прямым линиям, то есть являются одномерными. Линейные одномерные процессы описываются линейными дифференциальными уравнениями первого порядка. Таким образом в новых координатных осях исходная система опишется следующими уравнениями

где и - некоторые постоянные величины.

Подводим итоги. Имеем исходную систему уравнений, описывающую протекание управляемого процесса на фазовой плоскости . Далее переходим в новую систему координат , в которой математическое описание оказывается наиболее простым. Появляется система уравнений, каждое из которых содержит только одну переменную состояния и легко решается. Затем делается переход на исходную фазовую плоскость .

Характеристические числа и характеристические векторы.

(Собственные значения и собственные векторы.)

Тема характеристических уравнений (чисел) и характеристических (собственных) векторов чрезвычайно важна, так как от характеристических значений системы зависят её динамические свойства. На решении задач о характеристических значениях основывается множество задач анализа и синтеза систем.

Рассмотрим векторное уравнение

где и – векторы-столбцы, а - квадратная матрица. Данное уравнение можно трактовать как преобразование вектора в вектор . Возникает вопрос, существует ли вектор , который в результате преобразования переходит в вектор , имеющий такое же направление в векторном пространстве, как и вектор . Если такой вектор существует, то пропорционален , или

где - скаляр, являющийся коэффициентом пропорциональности. Значений обычно несколько. Конкретное значение для которого последнее двойное равенство имеет решение называется характеристическим числом или собственным значением матрицы . Соответствующий вектор решения называется характеристическим вектором или собственным вектором матрицы , порождаемым данным характеристическим значением .