Разыщем собственные значения 
. Для этого равенство 
переписываем следующим образом
Это система линейных однородных уравнений. Она будет иметь нетривиальное, то есть отличное от нулевого, решение в том и только том случае, если определитель матрицы коэффициентов равен нулю, то есть если
.
В развёрнутом виде эта система выглядит так
а её определитель так
.
Он то и должен быть равен нулю. После записи определителя в вычисленном виде конечное выражение можно записать вот так
Здесь коэффициенты 
, есть функции элементов 
матрицы коэффициентов 
. Решая данное уравнение, называемое характеристическим, находим собственные значения матрицы .
Пример. Найти характеристическое уравнение для матрицы 
Определитель матрицы 
=
.
И характеристическое уравнение есть
.
Корни его быстро находятся
Которые и оказываются характеристическими числами заданной матрицы.
Модальная матрица
Для каждого из n характеристических чисел 
матрицы (предполагается, что корни характеристического уравнения различны) можно получить решение уравнения 
относительно 
. Векторы 
, представляющие собой решения системы уравнений
,
являются характеристическими векторами . Так как отмеченное уравнение однородное, то 
, где 
- произвольная скалярная величина, также служит решением системы. Поэтому уравнение определяет решение не однозначно, указывая лишь направление каждого из векторов . Матрица, образованная векторами-столбцами , называется называется модальной матрицей. При различных характеристических числах столбцы модальной матрицы могут выбираться равными или пропорциональными произвольному ненулевому столбцу
.
(Здесь использовано обозначение для присоединённой матрицы, то есть матрицы, составленной из алгебраических дополнений, и транспонированная.)
Пример. Найти характеристические числа и модальную матрицу, соответствующую матрице предыдущего примера
Характеристическое уравнение и характеристические числа в примере уже получены
Присоединённая матрица будет равна
.
При 
присоединённая матрица равна 
.
При 
присоединённая матрица равна 
.
При 
присоединённая матрица равна 
.
Так как характеристические векторы единственным образом определяют только направление, то, будучи умноженными на какую-либо скалярную величину, эти векторы по-прежнему удовлетворяют уравнению 
. Следовательно, модальная матрица имеет вид
.
Каждый столбец данной модальной матрицы служит характеристическим вектором в одномерном векторном пространстве. Три столбца модальной матрицы образуют базис в соответствующем трёхмерном пространстве.
Диагонализация квадратной матрицы
Запишем все решения уравнения 
объединено, образуя матрицу из собственных векторов 
то есть модальную
или в развёрнутом виде
.
Матрица слева может быть представлена как произведение двух сомножителей
,
то есть второй сомножитель оказывается диагональной матрицей. Окончательно
.
В матричной форме полученный результат выглядит как
, где 
–
диагональная матрица, составленная из характеристических чисел.
При существовании обратной матрицы 
диагональная матрица 
находится так
.
Более высокие степени приводятся к диагональному виду аналогичным образом. Например,
.
Значение рассмотренного становится очевидным при исследовании линейных уравнений 
. При введении преобразования 
уравнение переписывается в виде
.
Умножение слева обеих частей уравнения на даёт
.
,
или, в развёрнутом виде
…………
В новой системе координат 
, 
, … , 
описываемая уравнением система уравнений развязана (в правой части нет линейной комбинации неизвестных). Отметим, что координаты 
лежат на характеристических векторах или их продолжениях. Эти координаты называются нормальными координатами системы. Подход к характеристическим векторам как развязывающим координаты системы образует основу частотной интерпретации линейных систем.
В случае дифференциальных уравнений имеем аналогичную ситуацию.
Вопросы к экзамену.
1. Переменные состояния. Уравнения состояния и выхода. Уравнения состояния для линейных стационарных систем.
2. Получение уравнений состояния для дифференциального уравнения
3. Использование схем в переменных состояния. Первый и третий методы.
4. Использование схем в переменных состояния. Второй и четвёртый методы.
5. Расширенный вектор состояния. Расширенная матрица коэффициентов. Описание внешних воздействий.
6. Решение однородного скалярного уравнения состояния во временной области.
7. Решение однородного скалярного уравнения состояния в операторной области.
8. Решение однородного скалярного уравнения состояния на основе ряда Тейлора.
9. Решение однородного матричного уравнения состояния во временной области.
10. Решение однородного матричного уравнения состояния в операторной области.
11. Решение однородного матричного уравнения состояния с помощью ряда Тейлора.
12. О диагонализации матрицы коэффициентов.
13. Собственные значения (характеристические числа) матрицы коэффициентов.
14. Собственные (характеристические) векторы матрицы коэффициентов.
15. Модальная матрица.
16. Диагонализация квадратной матрицы.
|
Из за большого объема этот материал размещен на нескольких страницах:
1 2 3 4 5 |
