Дискретная математика (стр. 4 )

Наиболее важными с точки зрения приложения в различных отраслях науки являются операции навешивания кванторов, широко используемые для записи определений, формулировок утверждений или теорем.

Навешиванием квантора, или связыванием квантором по переменной х (при этом х называют связанной переменной), называется приписывание спереди к предикатной формуле квантора общности (всеобщности) или существования, определяемых следующим образом:

– квантором общности или всеобщности (по переменной х), обозначаемым «х», называется выражение «для всех х» («для всякого х», «для любого х»);

– квантором существования (по переменной х), обозначаемым «х», называется выражение «существует х такое, что …» («найдется х такое, что …»).

1.3 Релейно-контактные схемы

Рассмотрим электромагнитные реле, состоящие из основных элементов – катушки индуктивности, контактной группы, и вспомогательных элементов – пружины, корпуса и т. п. Реле бывают двух типов:

1  Нормально-разомкнутые – в них: если по катушке индуктивности течет ток (полагаем, что значение управляющего сигнала равно 1), то контактная группа находится в замкнутом положении, т. е. цепь замкнута и значение функции проводимости цепи реле равно 1; если в катушке индуктивности тока нет (полагаем, что значение управляющего сигнала равно 0), то контактная группа находится в разомкнутом положении, т. е. цепь разомкнута и значение функции проводимости цепи реле равно 0.

2  Нормально-замкнутые – в них: если по катушке индуктивности течет ток (значение управляющего сигнала равно 1), то контактная группа находится в разомкнутом положении, т. е. цепь разомкнута и значение функции проводимости цепи реле равно 0; если в катушке индуктивности тока нет (значение управляющего сигнала равно 0), то контактная группа находится в замкнутом положении, т. е. цепь замкнута и значение функции проводимости цепи реле равно 1.

Таким образом, работа реле описывается таблицей:

Управляющий сигнал	Функция проводимости норм.-разомкн. реле	Управляющий сигнал	Функция проводимости норм.-замкн. реле
0 1	0 1	0 1	1 0

то есть. нормально-разомкнутое реле имеет тождественную функцию проводимости, а нормально-замкнутое – отрицание управляющего сигнала. Если управляющий сигнал обозначить «х», то нормально-разомкнутое реле будем обозначать:

	x

нормально-замкнутое:

Рассмотрим следующую схему соединения двух реле:

	x

Очевидно, ее функция проводимости имеет вид х, т. е. последовательное соединение реле реализует конъюнкцию.

Рассмотрим теперь другую схему соединения двух реле:

		x

Очевидно, ее функцией проводимости будет х , т. е. параллельное соединение реле реализуется дизъюнкцией.

Определение. Функцией проводимости схемы называется способность проводить или не проводить ток через схему соединения контактных групп реле в зависимости от комбинации управляющих сигналов, поданных на обмотки всех реле, образующих данную схему.

В теории релейно-контактных схем решаются три вида основных задач.

1 Задача синтеза: требуется построить схему, реализующую заданную функцию проводимости.

2 Задача упрощения: по данной схеме требуется построить более простую схему (отметим, что единого критерия простоты схемы не существует), имеющую такую же функцию проводимости – равносильную схему.

3 Задача анализа схемы: не включая схему в работу, проанализировав соединения контактных групп, найти функцию проводимости схемы.

В качестве примера решения задачи 3 рассмотрим следующую задачу:

Пример. Найти функцию проводимости релейно-контактной схемы

			x
					y

Решение

Так как последовательное соединение реализует конъюнкцию, а параллельное – дизъюнкцию, то, очевидно:

– при последовательном соединении реле с функциями проводимости «х» и «» имеем функцию проводимости «х»;

– при последовательном соединении реле с функциями проводимости «» и «у» имеем функцию проводимости «у»;

– при параллельном соединении групп реле с функциями проводимости «х», «у» и «» имеем функцию проводимости « ху».

Ответ: ху.

2 множества

2.1 Начальные понятия теории множеств

Понятие множества – одно из первичных и, следовательно, неопределимых понятий математики; понятие множества столь общее, что трудно дать ему какое-нибудь определение, которое не сводилось бы к замене слова «множество» равнозначными выражениями: совокупность, собрание элементов и т. д. Полагаем, будет полезным остановиться на интуитивном определении множества, принадлежащем немецкому математику Г. Кантору.

Определение.  Под множеством будем понимать любое собрание определенных и различимых между собой объектов, мыслимое как единое целое. Эти объекты называются элементами множества.

В этом определении существенным является то, что собрание предметов само рассматривается как один предмет, мыслится как единое целое. Что касается самих предметов, которые могут входить в множество, то относительно них существует значительная свобода.

Это может быть множество студентов некоторой группы, множество корней уравнения, множество прямых на плоскости, множество точек данной прямой и т. д. Элементы множества – это то, из чего оно состоит. Например, числа 4 и – 4 – есть элементы множества корней уравнения – 16 = 0, а окружность с центром в начале координат и радиусом 1 есть элемент множества всех окружностей и т. д.