ГЕОМЕТРИЯ ПЛОСКОСТЕЙ
Определение. Будем называть m-мерной плоскостью аффинного n- мерного пространства или, короче, m-плоскостью множество всех точек этого пространства, получаемых из одной его точки всеми переносами, векторы которых коллинеарны и принадлежат одному линейному пространству. Т. к. векторы этих переносов имеют вид 
, где 
принимают все вещественные значения, радиус-векторы точек m-плоскости имеют вид
|
.
Уравнение (1) называется векторным уравнением m-плоскости.
Векторы 
называются направляющими векторами m-плоскости.
Прямые можно рассматривать как 1–плоскости.
Две различные плоскости, получающиеся из различных точек одними и теми же переносами, называются параллельными плоскостями. Так, две плоскости с векторными уравнениями
, 
,
проходящие через точки 
и 
, параллельны.
Координатные уравнения m-плоскости
Уравнение (1) равносильно n координатным уравнениям
|
(2).
Уравнения (2) называются параметрическими уравнениями m-плоскости в координатах.
Уравнения m-плоскости по m+1 точкам
Если заданы (m+1) точка 
и векторы 
линейно независимы, то эти точки определяют единственную m-плоскость, проходящую через них: в этом случае за направляющие векторы этой плоскости можно принять векторы и векторное уравнение m-плоскости может быть записано в виде
|
.
Будем называть m-плоскость, определяемую точками , m-плоскостью 
.
В случае m = n-1, плоскость называют гиперплоскостью (плоскостью). Векторное уравнение плоскости имеет вид (1), её координатные уравнения имеют вид (2) при 
.
Векторное уравнение плоскости
Если мы умножим обе части уравнения (1) скалярно на вектор u, перпендикулярный всем векторам , то, т. к. 
=0 для всех 
, мы получим уравнение
,
или, если обозначить 
,
(4)
Вектор u, перпендикулярный ко всем направляющим векторам , и следовательно ко всем векторам, направленными на плоскости, называется вектором нормали.
Уравнение (4) называется векторным уравнением плоскости.
Координатное уравнение плоскости
Пусть 
ортонормированный базис в n-мерном аффинном пространстве 
, тогда уравнение (4) может быть переписано в виде
(5)
Уравнение плоскости по точке и вектору нормали
Если задана точка 
плоскости и её вектор нормали 
, то т. к. 
удовлетворяет уравнению (4) плоскости, мы получим, что
.
Вычитая обе части этого равенства из соответствующих частей уравнения (4), мы получим уравнение плоскости в виде
(6)
Это уравнение в ортонормированном базисе равносильно координатному уравнению
(7)
Основная теорема о плоскости. Уравнение всякой плоскости в аффинных координатах является линейным уравнением и, наоборот, всякое линейное уравнение в аффинных координатах является уравнением плоскости.
Необходимость следует из уравнения (5), которое является линейным.
Достаточность. Для доказательства второй части теоремы заметим, что если нам дано уравнение (5) и если мы положим 
и (в ортонормированном базисе), то уравнение (5) можно будет переписать в векторной форме в виде (4). Если теперь - произвольная точка, удовлетворяющая уравнению (4), т. е. , то вычитая обе части этого равенства из соответствующих частей равенства (4), мы получим уравнение (6). Если мы обозначим 
линейно независимых векторов, перпендикулярных вектору , через , то вектор 
является линейной комбинацией векторов , т. е. вектор 
удовлетворяет уравнению (1) при .
Уравнение плоскости по точке и направляющим векторам
Если задана точка плоскости и её направляющие векторы , то уравнение плоскости имеет вид
(8)
Уравнение плоскости по n точкам
Пусть даны n точек 
и векторы 
линейно независимы. Тогда уравнение плоскости имеет вид
(9)
Условие принадлежности n+1 точки одной плоскости
Если заданы n+1 точек 
, то необходимым и достаточным условием того, что точки 
лежат на одной плоскости, является линейная зависимость векторов .
Необходимость. Если точки лежат на одной плоскости, то n векторов являются линейными комбинациями n-1 направляющих векторов и поэтому линейно зависимы.
Достаточность. Если векторы линейно зависимы, существует вектор u, перпендикулярный всем этим векторам, и все точки лежат на плоскости (6), проходящей через точку 
перпендикулярно вектору u.
Формально условие принадлежности n+1 точек одной плоскости записывается в виде равенства нулю определителя
=0. (10)
Угол между плоскостями
Будем называть углом между двумя плоскостями тот из углов между векторами нормалей этих плоскостей, который 
. Поэтому, если векторы нормалей двух плоскостей – векторы u и v, угол 
между этими плоскостями – тот из углов 
и 
, определяющихся соотношением
, 
,
который . Поэтому угол между плоскостями с векторами нормалей u и v определяется соотношением
(11)
Расстояние от точки до плоскости
Будем называть расстоянием от точки до m-плоскости минимальное расстояние от данной точки до точек m-плоскости. Т. к. минимальное расстояние от данной точки до точек всякой прямой, лежащей на m-плоскости, является расстоянием от данной точки до основания перпендикуляра, опущенного из неё на эту прямую, расстояние от точки до m-плоскости равно расстоянию от этой точки до основания перпендикуляра, опущенного из неё на m-плоскость.
Найдём расстояние от точки 
до плоскости (4). Уравнение перпендикуляра, опущенного из точки 
на плоскость, имеет вид
(12)
Подставляя (12) в (4), найдём t:
 |
(13)
Т. к. расстояние от точки до произвольной точки плоскости равно
,
расстояние от точки 
до основания перпендикуляра равно значению 
, где t принимает значение (13), и, следовательно, расстояние от точки до плоскости (4) равно
 |
(14)
В частности, расстояние до плоскости от начала (
) равно
 |
(15)
В случае, когда вектор нормали – единичный вектор, формулу (14) можно переписать в виде
(16)
а формулу (15) – в виде
Т. о., когда вектор нормали – единичный, абсолютная величина свободного члена v равна расстоянию до плоскости от начала.
Расстояние между параллельными плоскостями
Т. к. у двух параллельных плоскостей могут быть выбраны одни и те же направляющие векторы , векторы нормалей параллельных плоскостей коллинеарны.
Расстояния от всех точек одной из двух параллельных плоскостей до другой из этих плоскостей равны. Действительно, расстояние от произвольной точки 
плоскости, проведённой через точку параллельно данной плоскости (4) с направляющими векторами , в силу (14) равно
т. е. равно расстоянию 
от точки до той же плоскости. Будем называть число, равное этим равным между собой расстояния, расстоянием между параллельными плоскостями. Если уравнения двух параллельных плоскостей записать в виде
(17)
то расстояние между ними равно расстоянию от точки , лежащей на второй плоскости, до первой плоскости.
В силу (14) это расстояние равно
Но т. к. точка лежит на второй плоскости, вектор 
удовлетворяет уравнению этой плоскости, т. е. 
. Поэтому расстояние между плоскостями (17) равно
(18)
