·
· МБОУ СОШ №1 ЗАТО Озёрный Тверской области, учитель математики
· Предмет: Математика
· Класс: 10 класс
· Тема: Число π – магический геометрический символ
· Базовые учебники: Алгебра и начала анализа 10 класс(в 2-х частях). М.: Мнемозина, 2007
Геометрия 10-11 классы и др. М.: Просвещение, 2007
Тема | Число π – магический геометрический символ |
Тип урока | Обобщение знаний. |
Вид урока | Урок - конференция |
Цель | На историческом материале показать важность и необходимость вычисления числа π, раскрыть вездесущность геометрического символа, показать огромное трудолюбие учёных, которые занимались этим вопросом на протяжении многих столетий и на этих примерах воспитывать у учащихся стремление к знаниям, любознательность |
Задачи | Формировать устойчивый интерес учащихся к математике. Расширять и углублять их представления о практическом значении и применении математических понятий в окружающем нас мире. Повысить мотивацию к изучению математики и её глубоких основ. |
Формы работы учащихся | Самостоятельные выступления |
Ресурсы: | - компьютер - видеопроектор - экран - раздаточный материал для вычисления числа π |
Технология | Урок – конференция исследовательского характера |
ЧИСЛО π - МАГИЧЕСКИЙ ГЕОМЕТРИЧЕСКИЙ СИМВОЛ.
(урок – конференция для 10 класса математического профиля)
ЦЕЛЬ: на историческом материале показать важность и необходимость вычисления числа л, раскрыть вездесущность геометрического символа, показать огромное трудолюбие ученых, которые занимались этим вопросом на протяжении многих столетий и на этих примерах воспитывать у учащихся стремление к знаниям, любознательность.
ЗАДАЧИ:
· формировать устойчивый интерес учащихся к математике;
· расширять и углублять их представления о практическом значении и применении математических понятий в окружающем нас мире.
· Повысить мотивацию к изучению математики и ее глубоких основ.
ПОДГОТОВКА К КОНФЕРЕНЦИИ.
Разрабатывается и предъявляется учащимся класса план подготовки и проведения конференции, список литературы о числе л. Учащимся предлагаются определенные темы для сообщений. Были подготовлены исследовательский реферат «Загадочное число π», хронологическая таблица вычисления этого числа, подобраны высказывания о числе π.
ПЛАН ПРОВЕДЕНИЯ КОНФЕРЕНЦИИ
1.История числа π.
2.О трансцендентности и иррациональности числа π
3.О вычислениях значения числа π в современных условиях
4.Вездесущность числа π (об исследованиях В. Пиотровского).
5.Различные способы вычисления числа л на практике.
6.Интересные задачи, связанные с числом л.
Ход конференции
1. Комментарии учителя. (3 мин.) Конференция начинается с исторической справки. Проблеме π - 4000 лет. Исследователи древних пирамид установили, что частное, полученное от деления суммы двух сторон основания на высоту пирамиды, выражается числом 3,1416. В знаменитом папирусе Ахмеса приводится такое указание для построения квадрата равного по площади кругу: «Отбрось от диаметра его девятую часть и построй квадрат со стороной, равной остальной части, и будет он эквивалентен кругу». Из этого следует, что у Ахмеса π ≈3,1605. Так началось письменная история числа π.
А что вы знаете из истории числа π?
Выступление ученика: «История числа π» (4 мин.)
В Вавилоне в V веке до н. эры пользовались числом 3⅛ ≈ 3,1215, а в древней Греции числом (
+ 
) ≈ 3,1462643. В индийских «сутрах» (техническое руководство по строительству) VI-V веков до н. эры имеются правила, из которых вытекает, что π ≈ 3,008.
Наиболее древняя формулировка нахождения приблизительного значения отношения длины окружности к диаметру содержится в стихах индийского математика Ариабхата (V –VI в.):
Прибавь четыре к сотне и умножь на восемь,
Потом ещё шестьдесят две тысячи прибавь.
Когда поделить результат на двадцать тысяч,
Тогда откроется тебе значение
Длины окружности к двум радиусам отношенья,
Т. е.
= 
≈ 3,1416
Архимед (III в до н. э.) для оценки числа π вычислял периметры вписанных и описанных многоугольников от 6-ти до 96-ти. Такой метод вычисления длины окружности посредством периметров вписанных и описанных многоугольников применялся видными математиками на протяжения почти 2000 лет. Архимед получил 
т. е.
π ≈ 3,1418. Долгое время все пользовались значением числа, равным 
.
Индусы в V-VI в. пользовались числом 
≈ 3,1611, а китайцы числом 
≈ 3,1415927.
В XV веке иранский математик ал - Каши нашел значение π с 16-ю верными знаками, рассмотрев вписанный и описанный многоугольники с 80035168 сторонами. Андриан Ван Ромен (Бельгия) в XVI веке с помощью 
– угольников получил 17 верных десятичных знаков, а голландский вычислитель – Лудольф ван - Цейлен (1540-1610), вычисляя π, дошел до многоугольников с 
степени сторонами и получил 35 верных знаков для π. Ученый обнаружил большое терпение и выдержку, несколько лет затратив на определение числа π. В его честь современники назвали π - «Лудольфово число». Согласно завещанию на его надгробном камне высечено найденное им значение π.
Обозначение π (первая буква в греческом слове – окружность, периферия) впервые встречается у английского математика Уильяма Дисонса (1706), а после опубликования работы Леонардо Эйлера (1736 г. Санкт – Петербург) вычислившего значение π с точностью до 153 десятичных знаков, обозначение π становится общепринятым.
2. Выступление ученика: «О трансцендентности и иррациональности числа π» (2 мин.)
π — иррациональное число, то есть его значение не может быть точно выражено в виде дроби m/n, где m — целое число, n – натуральное число. Следовательно, его десятичное представление никогда не заканчивается и не является периодическим. Иррациональность числа π была впервые доказана Иоганном Ламбертом в 1761 году путём разложения числа в непрерывную дробь. В 1794 году Лежандр привёл более строгое доказательство иррациональности числа π.
π — трансцендентное число, это означает, что оно не может быть корнем какого-либо многочлена с целыми коэффициентами. Трансцендентность числа π была доказана в 1882 году профессором Мюнхенского университета Линдеманом. Доказательство упростил Феликс Клейн в 1894 году.
Поскольку в евклидовой геометрии площадь круга и длина окружности являются функциями числа π, то доказательство трансцендентности π положило конец спору о квадратуре круга, длившемуся более 2,5 тысяч лет.
Комментарии учителя. (2 мин.) Одно из простейших выражений для π открыл (середина XVIII в.) Джон Валлис (английский математик).
А несколько десятилетий спустя великий немецкий философ Готфрид-Вильгельм Лейбниц открыл другую изящную формулу
Самым неутолимым вычислителем π был английский математик Уильям Шенкс (конец XIX века) Более 20 лет жизни он посвятил вычислению 707 знаков числа π. К сожалению, он ошибся в 520 знаке и все последующие цифры неверны.
Ошибку обнаружили в 1945 году.
Какие этапы вычисления числа π после 1945 года вам известны?
3. Выступление ученика: «О вычислениях значения числа π в современных условиях» (4 мин.)
С появлением ЭВМ значения числа π было вычислено с достаточно большой точностью. В США, например, был получен результат с более 30 млн. знаков. Если распечатать значение числа, полученное в США, то оно займёт 30 томов по 400 страниц в каждом.
Вычисление такого числа знаков для π не имеет практического значения, а лишь показывает огромное преимущество и совершенство современных средств и методов вычисления по сравнению со старыми.
Так за полвека вырастала запись точного значения числа π с помощью компьютера:
— 1949 год — 2037 десятичных знаков
— 1958 год — 10000 десятичных знаков
— 1961 год — 100000 десятичных знаков
— 1973 год — 10000000 десятичных знаков
— 1986 год — 29360000 десятичных знаков
— 1987 год — 134217000 десятичных знаков
— 1989 год — 1011196691 десятичный знак
— 1991 год — 2260000000 десятичных знаков
— 1994 год — 4044000000 десятичных знаков
— 1995 год — 4294967286 десятичных знаков
— 1997 год — 51539600000 десятичных знаков
— 1999 год — 206 158 430 000 десятичных знаков.
Суперкомпьютер в сентябре 1999 года работал 37 часов 21 минут 4 секунды, используя 865 Гбайт памяти для основной задачи, и 46 часов и 816 Гбайт для вспомогательной оптимизации вычислений.
В 2009 году французский программист Фабрис Беллар поставил рекорд вычисления числа π с точностью до 2,7 трлн знаков после запятой. Что самое удивительное, он сделал это на своём персональном компьютере.
Достижение Беллара показало, что не обязательно иметь суперкомпьютер для таких вычислений, и его коллеги решили сделать компьютер помощнее и перекрыть достижение француза. Американский студент Александр Йи и японский исследователь Сигэру Кондо рассчитали последовательность с точностью в 5 триллионов цифр после запятой.
Комментарии учителя. (1 мин.) Материалы о вездесущности числа π можно найти в книге В. Друянова «Загадочная биография Земли». В этой книге рассказывается об идеях и исследованиях кандидата географических наук В. Пиотровского. Ему удалось установить, что в классификации рельефа Земли можно выделить 15 порядков. Экспериментальным путем он установил, что все структуры земного рельефа: от мелких до гигантских связаны между собой через число π (три с небольшим!)
4.Выступление ученика: «Вездесущность числа л» (об исследованиях В. Пиотровского) (5 мин.)
При расчете В. Пиотровским глубины земных недр и толщи океана была сделана проверка снизу вверх от центра Земли к её поверхности и далее… в космос и доказана вездесущность числа π. В. Пиотровский считает, что Земля и окружающий космос построены на основании одного закона, в основе которого лежат волновые процессы. Этот закон можно назвать законами числа π. Попробуем найти другие подтверждения этого закона. Ведь есть целые разделы физики, уже давно и с успехом изучающие волновые процессы. Прежде всего, это акустика. Именно в ней необходимо искать определенные закономерности. В. Пиотровский часто повторяет, что он любит мыслить графически. Акустика привлекла его внимание благодаря геометрии. Рассматривая одну картину Земли с радиационными поясами, он пририсовал у полюсов земного шара по крючку, и картина сразу преобразилась – «скрипка»! Тут же достал книгу о скрипках … На миллиметровке появились контуры знаменитых скрипок Амати, Гварнери, Страдивари, началось изучение их геометрии. И выяснилось следующее: в корпусе скрипки можно выделить некий объем воздуха. Этот «шар» ровно три раза укладывается в двух резонаторах инструмента. Причем это верно для скрипок всех трех мастеров.
Конструкция скрипки предполагала, что старые мастера делали их не меньше и не больше определенного размера: посередине «эталонный» объем и три таких объема вправо и влево. Опять три или 3,14! А вот для балалайки, рояля и гитары присутствие тройки не обнаруживается. Но они и звучат тихо: это камерные инструменты.
В. Пиотровский обратил внимание на эфы скрипки – отверстия в её верхней крышке, напоминающие по форме латинскую букву S. Именно эти отверстия дают выход звукам, рождающимся во внутреннем объеме скрипки. Они как бы снимают большую часть звуковой энергии. В гитаре и балалайке эту же роль выполняют круглые отверстия.
Звуковые волны внутри скрипки сочетаются друг с другом. В одних эфах они гасятся, а в других сливаются, образуя узлы. Скорее всего, там, где находятся эфы. Неудивительно, что старые скрипичные мастера для снятия звуковой энергетики выбрали не круглые отверстия, а эфы. Через них звук «выплескивается» с наименьшими потерями.
Так же можно объяснить появление S-образных структур на поверхности Земли. Они являются застывшими волнами, которые возникли в результате взаимодействия многих волн, сотрясавших когда – то планету. S-образные структуры возникли в тех местах, где волны усилили друг друга, где волновая энергия была наибольшей. В тайфунах – та же картина. Они имеют вид спирали, а это очень напоминает кончик эфы! Стало быть, тайфун не бывает один, а следует искать другой кончик эфы, связанного плавной линией с первым.
Прогноз ученого подтвердил снимок Земли, сделанный с космического аппарата «Зонд-5» на расстоянии 90000 км от планеты. Там ясно виден «эф». Один его завиток лежит в северном полушарии, другой поместился западнее Африки.
При изучении архитектуры церкви В. Пиотровский обнаружил, что объем купола храма примерно 3 раза укладывается во всем объеме храма. Самые звучные и певучие колокола отлиты русскими мастерами. Профиль контура русского колокола имеет вид равнобедренного треугольника. Пока только предполагают, что углы колокола близки по величине к радиану. А это - окружность, деленная пополам. И опять появляется это магическое число π.
Член – корреспондент В. Звонков отмечает интересную закономерность у всех растений с овальной формой листьев. Если мысленно разделить лист (липа) по линии его наибольшей ширины, то левая часть составит примерно 
всей длины. Оказывается, у всех растений с овальной формой листьев наблюдается аналогичная закономерность.
Кривая полета снаряда, зависимость скорости горения пороха от давления, распределение молекул газообразного кислорода в зависимости от различной температуры, флуктуация числа частиц радиоактивных веществ, пульсовые колебания стенок артерий – все эти явления подтверждают общую закономерность: на этих кривых линия наибольшего подъема делит их абсциссу в отношение 1:2. Иначе говоря, выделяет отрезок, который три раза укладывается на определенной длине. Интересное соотношение?
Комментарии учителя. (3 мин) Из всех представителей бесконечного класса трансцендентных чисел наибольшей известностью число π обязано своей связью с окружностью. Но отношение длины окружности к её диаметру возникает во многих ситуациях, не имеющих отношение к окружности. Английский математик Морган (1806 – 1871) назвал π «загадочным числом, которое лезет в дверь, окно и через крышу» если, например, из множества целых положительных чисел случайным образом выбрать два числа, то вероятность того, что выбранные числа
Очень часто число π появляется в формулах, казалось бы, не имеющих к нему никакого отношения. Ещё со времён Виета отыскание пределов некоторых арифметических последовательностей, составляемых по простым законам, приводило к числу π. Примером служит ряд Лейбница
Этот ряд сходится очень медленно. Существуют более быстрые сходящиеся ряды, пригодные для вычисления числа π, например: 
, где значения арктангенсов находятся с помощью ряда
5. В ходе конференции учащиеся предложили различные способы вычисления числа π.
Простейшее измерение. (раздать заготовленный материал участникам конференции: вырезанные круги, нити, линейки) (4 мин.)
Начертить на плотном картоне окружность радиусом R, вырезать получившийся круг и обмотать вокруг него тонкую нить. Измерив длину одного полного оборота нити, разделить единицу на длину диаметра окружности. Получившееся частное будет приближенным значением числа π. Данный довольно грубый способ дает в обычных условиях приближенное значение числа π с точностью до 1.
Выступление ученика (5 мин.)
Измерение с помощью взвешивания .
На месте картона начертить квадрат. Вписать в него круг. Вырезать квадрат. Определить массу картонного квадрата с помощью весов. Вырезать из квадрата круг. Взвесить и его. Зная массы квадрата mкв. и вписанного в него круга m кр, воспользоваться формулами m= ρ V, V = S h, где ρ и h - соответственно плотность и толщина картона, S - площадь фигуры.
Рассмотрим равенства:
m к в. = ρπR2 h. Отсюда 
mкр. : m кВ. = π : 4 , π = 4m кр. : m кв.
Естественно, что в данном случае приближенное значение π зависит от точности взвешивания. Если взвешиваемые картонные фигуры будут довольно большими, то возможно даже на обычных весах получить такие значения масс, которые обеспечат приближение числа π с точностью до 0,1.
Метод Монте – Карло.
Это фактически метод статистических испытаний. Свое экзотическое название получил от города Монте – Карло в княжестве Монако, знаменитого своими игорными домами. Дело в том, что метод требует применения случайных чисел, а одним из простейших приборов, генерирующих случайные числа, может служить рулетка. Впрочем, можно получить случайные числа и при помощи … дождя.
Для опыта приготовить кусок картона, нарисовать на нем квадрат и вписать в квадрат четверть круга. Если такой чертеж некоторое время подержать под дождем, то на его поверхности останутся следы капель. Подсчитаем число следов внутри квадрата и внутри четверти круга. Очевидно, что их отношение будет приближенно равно отношению площадей этих фигур, так как попадание капель в различные места чертежа равновероятно.
Пусть Nкр. - число капель в квадрате, тогда
π= 4Nкр.: Nкв. ( 1 )
Дождь можно заменить таблицей случайных чисел, которая составляется с помощью компьютера по специальной программе. Каждому следу поставим в соответствие два случайных числа, характеризующих его положение вдоль осей ОХ и ОУ.
Случайные числа можно выбрать из таблицы в любом порядке, например, подряд. Пусть первое четырехзначное число в таблице 3265. Из него можно «приготовить» два числа, каждое из которых больше нуля и меньше единицы: х = 0,32, у = 0,65. Эти числа будем считать координатами капли, то есть капля как будто попала в точку (0,32 ; 0, 65). Аналогично поступали и со всеми выбранными случайными числами. Если окажется, что для точки (хІ; уІ) выполняется неравенство х2І + уІ2 › 1, то, значит, она лежит вне круга. Если xІ2 + yІ2 ≤ 1 , то точка лежит внутри круга.
Для подсчета значения π снова воспользуемся формулой (1). Ошибка вычислений по этому методу, как правило, пропорциональна 
, где D – некоторая постоянная, а N - число испытаний. В нашем случае N= Nкв.. Из этой формулы видно: для того, чтобы уменьшить ошибку в 10 раз (иначе говоря, чтобы получить в ответе еще один верный десятичный знак), нужно увеличить N, то есть объем работы, в 100 раз. Ясно, что применение метода Монте – Карло стало возможным только благодаря компьютерам.
Комментарии учителя. Мнемонические правила. (2 мин.)
Три первые цифры числа π = 3,14... запомнить совсем несложно. А для запоминания большего числа знаков существуют забавные поговорки и стихи. Например, такие:
Нужно только постараться
И запомнить все как есть:
Три, четырнадцать, пятнадцать,
Девяносто два и шесть.
С. Бобров. «Волшебный двурог»
Тот, кто выучит это четверостишие, всегда сможет назвать восемь знаков числа π: 3,1415926...
В следующих фразах знаки числа π можно определить по количеству букв в каждом слове:
«Что я знаю о кругах?» (π = 3,1416);
«Вот и знаю я число, именуемое Пи. — Молодец!» (π 
3,1415927);
«Учи и знай в числе известном за цифрой цифру как удачу примечать» π 3,141 59265359).
Поговорку «Что я знаю о кругах?» предложил замечательный популяризатор науки Яков Исидорович Перельман. Учитель одной из московских школ придумал строку: «Это я знаю и помню прекрасно», а его ученица сочинила забавное продолжение: «Пи многие знаки мне лишни, напрасны». Это двустишие позволяет восстановить 12 цифр.
А так выглядит 101 знак числа π без округления:
3, 14159 26535 89793 23846 26433 83279 50288
41971 69399 37510 58209 74944 59230 78164
06286 20899 86280 34825 3421 1 70679.
6. Задачи, которые были предложены учащимся: (4 мин.)
№1
Какова должна быть длина этикетки для консервной банки, диаметр которой 16см? (50,3 см)
№2
Диаметр Земли составляет 12640 км. Какова длина пути, пройденного туристом в результате кругосветного путешествия? (39709 км)
№3
Спутник вращается по круговой орбите на высоте 100км от поверхности Земли. Какова длина пути, проходимого спутником за 8 оборотов вокруг Земли? (322704 км)
№4 Геометрия знает немало поучительных и необычных задач. Одна из них описана в романе Жюль Верна, герой которого подсчитывал, какая часть его тела прошла более длинный путь за время его кругосветных странствий - голова или ступни ног, если рост нашего героя 1,7 м. (голова прошла путь на 10,7 метров больше чем ноги)
Заключение (4мин.)
Мог бы кто-нибудь сегодня удалить число из π мира дел человеческих?
· Число π присутствует в чертежах и вычислениях, выполняемых электронными машинами при подготовке и проведении полетов в космос;
· оно предоставляет необходимое количество десятичных знаков всякий раз, когда они нужны инженерам, рассчитывающим цилиндрические, сферические или конические части машин,
· физикам и астрономам, когда они проводят приближенные вычисления по формулам, в которых среди фундаментальных постоянных появляется и π, как, например, в формуле для периода колебания маятника, и в тысячах и тысячах других случаев.
Куда бы мы ни обратили свой взор, мы видим проворное и трудолюбивое число π: оно заключено и в самом простом колесике, и в самой сложной автоматической машине.
Интересное – полезное:
· Интересно ли вам было изучать материал о числе π?
· Трудно ли вам было работать с литературой?
· Что полезного для себя вы узнали?
· Встречается ли в математике еще такой проблемный материал, о котором бы вы хотели рассказать или узнать на уроках?
Литература для учеников.
1. Вездесущее число «пи». — 2-е изд. — М.: Издательство ЛКИ, 2007. — 216 с.
2. , За страницами учебника математики - М.: Просвещение, 1989.
3. Энциклопедия для детей. Т.11.Математика – М.: Аванта +, 1998.
4. Величины и числа. Популярные очерки: — Санкт-Петербург, КомКнига, 2006 г.- 224 с.
Литература для учителя.
1. агадочная биография Земли. 1989
2. атематические головоломки и развлечения. 1971
3. то мы знаем о больших числах.
4. «История числа π». М., «Наука», 1971 г.
5. стория математики в школе. 1982
6. «Наука и жизнь» №11, 1979
7. Квант. №4, 1987; №7, 1989; №9, 1989.
.
