Уравнения в частных производных. Лабораторный практикум (стр. 3 )

3)  если уравнение (2.16) имеет вид , то, полагая , где , получим . Интегрируя это уравнение, получим , где b - произвольная постоянная, или – полный интеграл;

4)  если уравнение (2.18) имеет вид, напоминающий уравнение Клеро:

,

то, как нетрудно проверить непосредственной подстановкой, полным интегралом является

.

Задание 1

Найти общее решение для каждого из уравнений:

1. ; 2. ;

3. ; 4. ;

5. ; 6. ;

7. ; 8. ;

9. .

Найти поверхность, удовлетворяющую данному уравнению и проходящую через заданную линию, и построить ее.

10. при ;

11. при ;

12. при ;

13. при ;

14. ;

15. ;

16. ;

17. ;

18. ;

19. ;

20. ;

21. ;

22. ;

23. .

Решить данные системы уравнений:

24. 25. 26.

27. 28.

29. 30.

Найти поверхности, удовлетворяющие должным уравнени-ям Пфаффа:

31. ;

32. ;

33. ;

34. ;

35. ;

36. ;

37. ;

38. ;

39. .

Найти поверхности, ортогональные векторным линиям векторного поля:

40. ;

41. .

Найти полный интеграл уравнения:

42. ; 43. ; 44. ;

45. ; 46. ; 47. ;

48. ; 49. ;

50. .

Лабораторная работа № 3

КЛАССИФИКАЦИЯ УРАВНЕНИЙ С ЧАСТНЫМИ ПРОИЗВОДНЫМИ (КАНОНИЧЕСКАЯ ФОРМА УРАВНЕНИЙ ГИПЕРБОЛИЧЕСКОГО, ПАРАБОЛИЧЕСКОГО

И ЭЛЛИПТИЧЕСКОГО ТИПОВ)

Цель: классифицировать все уравнения вида:

.

Уравнение называется линейным относительно старших производных если имеет вид

, (3.1)

где – функция от .

Если коэффициенты зависят не только от x, y, но и от , то уравнение называется квазилинейным.

Уравнение называется линейным, если оно линейно как относительно старших производных, так и относительно функ-ции ее первых производных:

, (3.2)

где – функции только от x, y.

(3.2) – линейное уравнение.

Если коэффициенты в (3.2) не зависят от , то уравнение называется линейным с постоянными коэффициентами.

Уравнение называется однородным, если .

Введем новые переменные так, чтобы уравнение (3.1) имело наиболее простую форму. Вычислим вначале частные производные:

(3.3)

Подставим (3.3) в (3.1):

, (3.4)

где

Наша цель – сделать так, чтобы коэффициенты и (или и ) обратились в ноль.

Функция не зависит от II производной. Если исходное уравнение линейно, то и уравнение линейно.

Выберем переменные и , чтобы .