Уравнения в частных производных. Лабораторный практикум (стр. 1 )

Министерство образования Республики Беларусь

белорусский национальный технический

университет

 

Кафедра «Теоретическая механика»

УРАВНЕНИЯ В ЧАСТНЫХ ПРОИЗВОДНЫХ.

ЛАБОРАТОРНЫЙ ПРАКТИКУМ

Учебно-методическое пособие для студентов

высших технических учебных заведений

М и н с к 2 0 0 9

УДК

ББК

Б

Р е ц е н з е н т ы:

,

Б	Боготова, М. Г. Уравнения в частных производных. Лабораторный практикум: учебно-методическое пособие для студентов высших тех-нических учебных заведений / , . – Минск: БНТУ, 2009. – с.

ISBN 978-985-479-992-6.

В пособии представлены традиционные методы решения уравнений с частными производными, включая и некоторые численные методы. При этом особое внимание уделено методу разделения переменных и методу интегральных преобразований.

В текст издания включено краткое изложение основных теоретических сведений, знание которых необходимо для сознательного решения задач.

Учебно-методическое пособие может быть использовано студентами технических вузов, а также преподавателями в целях повышения квалификации.

УДК

ББК

ISBN 978-985-479-992-6 © ,

, 2009

© БНТУ, 2009

Лабораторная работа № 1

УРАВНЕНИЕ В ЧАСТНЫХ ПРОИЗВОДНЫХ

Цель: показать, что такое уравнения с частными производными, где и как они возникают и как решаются. Кратко обсудить способы классификации уравнений и привести перечень основных понятий.

Основные понятия

Уравнения с частными производными – это уравнения, содержащие частные производные. В отличие от обыкновен-ных дифференциальных уравнений (ОДУ), в которых неизвестная функция зависит только от одной переменной, в уравнениях с частными производными неизвестная функция зависит от нескольких переменных (например, температура u(x, t) зависит от координаты x и времени t). Для упрощения записи воспользуемся следующими обозначениями:

, , , …

Некоторые уравнения с частными производными

Одномерное уравнение теплопроводности

.

Двумерное уравнение теплопроводности

.

Уравнение Лапласа в полярных координатах

.

Трехмерное волновое уравнение

.

Телеграфное уравнение

.

Основные методы классификации уравнений

с частными производными

1.  Порядок уравнения.

Порядком уравнения называется наивысший порядок частных производных, входящих в уравнение. Например:

– уравнение второго порядка;

– уравнение первого порядка;

уравнение третьего порядка.

2.  Число переменных.

Числом переменных называется число независимых пере-менных. Например,

– уравнение с двумя переменными x и t.

– уравнение с тремя переменными r, q, t.

3.  Линейность.

Уравнения с частными производными бывают линейными и нелинейными. В линейное уравнение зависимая переменная и все ее частные производные входят линейным образом, в частности, они не умножаются друг на друга, не возводятся в квадрат и т. д., т. е. линейными переменными второго порядка с двумя независимыми переменными называ-ется уравнение вида

, (1.1)

где A, B, C, D, E, F, G – константы или заданные функции независимых переменных x и y. Например:

– линейное уравнение;

– нелинейное уравнение;

– линейное уравнение;

– нелинейное уравнение.

4. Однородность.

Уравнение (1.1) называется однородным, если правая часть G(x, y) тождественна равна нулю для всех x, y. Если G(x, y) не равна нулю, то уравнение называется неоднородным.

5. Виды коэффициентов.

Если коэффициенты уравнения (1.1) A, B, C, D, E, F постоянны, то уравнение называется уравнением с постоянными коэффициентами (в другом случае – уравнение с переменными коэффициентами).

6. Три основных типа линейных уравнений.

Все линейные уравнения с частными производными второго порядка вида (1.1) относятся к одному из трех типов:

а) параболический, б) гиперболический, в) эллиптический.

Параболический тип. Уравнения параболического типа описывают процессы теплопроводности и диффузии и определяются условием .

Гиперболический тип. Уравнения гиперболического опи-сывают колебательные системы и волновые движения и определяются условием .

Эллиптический тип. Уравнения эллиптического типа опи-сывают установившиеся процессы и определяются условием . В случае переменных коэффициентов тип урав-нения может изменяться от точки к точке.

Примеры:

А) – параболическое;

Б) – гиперболическое;

В) – гиперболическое;

Г) – эллиптическое;

Д) – эллиптическое при y > 0;

параболическое при y = 0;

гиперболическое при y < 0.

Задачи

1.  Провести классификацию следующих уравнений по всем признакам

а) ;

б) ;

в) ;

г) .

2.  Сколько существует решений уравнения ? Найти решения вида

.

3.  Если функции u1(x, t) и u2(x, t) удовлетворяют уравне-нию (1.1), то удовлетворяет ли ему сумма этих функций? Докажите.

4.  Решить уравнение с частными производными

.

5.  Найти решения уравнения

.

Сравнить с числом решений обыкновенного дифференциального уравнения .

6.  Решить уравнения в частных производных:

1. ; 2. ; 3. ; 4. .

Лабораторная работа № 2

УРАВНЕНИЕ В ЧАСТНЫХ ПРОИЗВОДНЫХ

ПЕРВОГО ПОРЯДКА

Цель: научиться решать уравнения в частных производных первого порядка.

Линейные уравнения в частных производных 1-го по-рядка.

Чтобы решить уравнение в частных производных

, (2.1)

где , зависят от нужно записать систему ОДУ