Уравнения в частных производных. Лабораторный практикум (стр. 6 )

Чтобы это сделать, подставим решения в граничные условия. В результате получаем

Второе граничное условие накладывает ограничение на возможные значения константы разделения λ: она должна быть корнем уравнения . Следовательно

Итак, мы закончили выполнение второго шага и располагаем бесконечным набором функций

ШАГ 3. (Нахождение решения, удовлетворяющего уравнению, граничным и начальным условиям.)

Последний шаг заключается в нахождении такой суммы фундаментальных решений

т. е. в подборе таких коэффициентов , что функция будет удовлетворять начальному условию

.

Подстановка суммы в начальное условие дает

Это уравнение приводит нас к интересному вопросу: можно ли начальную температуру разложить в ряд по элементарным функциям вида

…

Положительный ответ на этот вопрос дал французский математик Жозеф Фурье. Оказалось, что для достаточно хороших функций такое разложение возможно. Тогда возникает новый вопрос: как найти коэффициенты разложения ?

Итак, мы хотим найти коэффициенты в разложении

Умножим обе части этого соотношения на sin(mpx) и проинтегрируем от нуля до единицы. В результате получаем

(все остальные слагаемые обратились в нуль, благодаря ортогональности). Решая уравнение относительно Аm, получаем

.

Таким образом, мы получили, что решение записывается в виде

, где коэффициенты определяются по формулам

.

Пример выполнения задания в Mathcad.

Графики температуры в различные моменты времени.

Задания

1.  Покажите, что функции вида удовлетворяют решению уравнения при произвольных значениях А, В, l.

2.  Покажите, что

УКАЗАНИЕ. Использовать тождество

.

3.  Найдите разложение в ряд Фурье по синусам функции на отрезке [0,1]. Постройте график первых трех-четырех членов разложения.

4.  Используя результаты решения задачи 3, найдите решение следующей смешанной задачи:

(УЧП) ,

(ГУ) 0<t<¥,

(НУ) , .

(Отметим, что эта задача физически бессмысленна, поскольку подразумевается, что температура на концах стержня мгновенна уменьшается от единицы до нуля. В большинстве задач, если, заданы нулевые граничные условия, то и начальная температура должна обращаться в ноль при х=0 и х=1.)

5.  Найти решение задачи 4, если начальное условие задано в виде

1. ;

2. .

3. ;

4. ;

5.; 6. ;

7. ; 8. ;

9. ; 10. ;

11. ; 12. ;

13. ; 14.;

15. ; 16. ;

17. ; 18. ;

19. ; 20. .