Уравнения в частных производных. Лабораторный практикум (стр. 5 )

Подставим частные производные в исходное уравнение и получим

Ответ.

Привести уравнение к каноническому типу

1.  ;

2.  .

3.  .

4.  .

5.  .

6.  .

7.  .

8.  .

9.  .

10.  .

11.  .

12.  .

13.  .

14.  .

15.  .

16.  .

17.  .

18.  .

19.  .

20.  .

Лабораторная работа № 4

РЕШЕНИЕ ЗАДАЧ ТЕПЛОПРОВОДНОСТИ МЕТОДОМ РАЗДЕЛЕНИЯ ПЕРЕМЕННЫХ.

Цель: познакомить студентов с мощным методом разделения переменных и показать, как можно воспользоваться этим методом для решения хорошо известной диффузионной задачи.

Основная идея метода состоит в разложении начального условия на простейшие компоненты, нахождении отклика системы на каждую простейшую компоненту и последующего суммирования всех откликов. Так можно найти отклик на произвольное начальное условие.

Метод разделения переменных – один из методов решения смешанных задач и применяется, когда:

1.  Уравнение является линейным и однородным (не обязательно с постоянными коэффициентами).

2.  Граничные условия заданы в виде

где и – константы (граничные условия, заданные в таком виде, называются линейными однородными граничными условиями).

Рассмотрим смешанную задачу диффузионного типа: найти решение

(УЧП)

удовлетворяющее граничным условиям

(ГУ)

и начальному условию

(НУ)

Наша цель – найти распределение температуры в последующие моменты времени.

Общие принципы метода разделения переменных

Для простейшего уравнения с частными производными разделение переменных – это поиски решений вида

где – функция, зависящая только от переменной x, а – зависящая только от t. Такое решение является в каком-то смысле простейшим, поскольку температура , представленная в таком виде, будет сохранять «форму» профиля в различные моменты времени t.

Рисунок. График функции в различные моменты времени t.

Общая идея заключается в том, чтобы найти бесконечное число таких решений уравнения с частными производными (которые удовлетворяют граничным условиям). Эти простейшие функции (называемые фундаментальными решениями) являются как бы элементарными кирпичиками, из которых строится решение нашей задачи. Решение нашей задачи находиться в виде такой линейной комбинации фундаментальных решений , что результирующая сумма удовлетворяет начальным условиям.

Разделение переменных

ШАГ 1. (Нахождение элементарных решений уравнения с частными производными.)

Найдем функцию , которая является решением следующей задачи:

(УЧП)

(ГУ)

(НУ)

Будем искать решения, представимые в виде Для этого подставим выражение в уравнение. В результате подстановки получаем

Теперь выполним операцию, присущую данному методу: разделим обе части последнего уравнения на , в результате чего получаем

Про это выражение говорят, что в нем переменные разделены, т. е. левая часть уравнения зависит только от t, а правая часть – только от x. Так как x и t не зависят один от другого, то каждая часть этого уравнения должна быть константой. Обозначим эту константу k, тогда

или

Введем обозначение , где не равно нулю (в этом случае выражение – будет всегда отрицательным). С учетом нового обозначения для константы разделения два обыкновенных дифференциальных уравнения запишутся в виде

Общие решения записываются в виде

(А – произвольная постоянная),

(А, В – производные постоянные).

Следовательно, функции вида

.

(где А, В и – произвольные постоянные) удовлетворяют УЧП .

ШАГ 2. (Нахождение решений, удовлетворяющих граничным условиям.)

Положение сейчас таково: у нас есть бесконечное множество решений исходного уравнения, но не все они удовлетворяют граничным или начальным условиям. Следующий шаг состоит в выборе такого подмножества решений вида

,

которое удовлетворяет граничным условиям