Уравнения в частных производных. Лабораторный практикум (стр. 4 )

Рассмотрим УЧП I порядка:

. (3.5)

Пусть функция – любое частное решение урав-нения (3.5).

Если положить , то , и задача о выборе новых независимых переменных связана с решением уравнения (3.5).

Лемма 1: Если является некоторым частным решением уравнения (3.5), то соотношение пред-ставляет собой общий интеграл ДУ:

. (3.6)

Лемма 2: Если выражение представляет собой общий интеграл уравнения (3.6), то функция удовлетворяет уравнению (3.5).

Уравнение (3.6) называется характеристическим для выражения (3.1), а его интегралы называются характеристиками.

Полагая , где есть общий интеграл уравнения (3.6), коэффициент при превращаем в 0.

Если является другим общим интегралом урав-нения (3.6), то взяв за новую переменную , коэффициент при становится равным нулю.

Разрешая (3.6) относительно , получаем два уравнения

; (3.7)

. (3.8)

Знак выражения определяет тип дифференциального уравнения в ЧП.

ДУ II порядка в частных производных в точке М будет
называться уравнением гиперболического типа, если ; эллиптического типа, если ; параболического типа, если .

В различных точках области определения уравнение может принадлежать различным типам.

Рассмотрим каждый из этих случаев.

1. Для уравнений гиперболического типа .

Правые части уравнений (3.7) и (3.8) действительные и различные. Их общие интегралы и определяет действительное семейство характеристик. Пусть , . Тогда в уравнении (3.4) коэффициент при и при , это уравнение после деления на коэффициент при приведется к виду

– каноническая форма уравнения гиперболического типа, где .

Часто пользуются 2–й канонической формой.

Пусть . Тогда , – новые переменные.

Найдем

;

В результате уравнение (3.4) примет вид

– вторая каноническая форма уравнений ги-перболического типа. Здесь .

2. Рассмотрим уравнение параболического типа.

Из соотношения следует, что . Для уравнения параболического типа уравнения (3.7) и (3.8) совпадают. В результате получаем один общий интеграл . Введем следующую замену переменных , – любая функция. При таком выборе переменных имеем

,

т. к. .

Рассмотрим . Вместо подставим :

.

Сгруппируем . Отсю-да следует, что коэффициент .

После деления уравнения (3.4) на коэффициент при , получим каноническую форму уравнения параболического типа:

.

3. Рассмотрим уравнение эллиптического типа.

и правые части уравнений (3.7) и (3.8) комплексны.

Пусть – комплексный интеграл уравнения (3.7).

– общий интеграл сопряженного уравнения (3.8).

Перейдем к комплексным переменным

.

При этом уравнение эллиптического типа приводится к тому же виду, что и уравнение гиперболического типа. Для того чтобы не было комплексной переменной, введем новые переменные и :

.

В этом случае

Из этого следует, что

Уравнение (4) после деления на коэффициент при примет вид.

– каноническая форма записи для УЧП эллиптического типа.

Пример

.

. Определим тип уравнения

– уравнение параболического типа.

Составим характеристическое уравнение:

.

Делим на :

Введем обозначение

Из последнего уравнения следует, что. Введем замену .