Расчет следящих систем (стр. 4 )

Рисунок 2.2 – Логарифмические частотные характеристики

По полученной модели исходной системы путем моделирования, например в Simulink, определяются параметры качества (перерегулирование, время переходного процесса, запасы устойчивости) и делается вывод о необходимости коррекции.

Рисунок 2.3 – Исходная модель системы

Рисунок 2.4 – Переходная характеристика исходной системы

Исходная замкнутая система устойчива и имеет следующие показатели:

Запас устойчивости по амплитуде a=∞

Перерегулирование s=58,5%

Время регулирования tp=0,246 c

Полученные показатели качества не соответствуют исходным условиям проектирования, поэтому необходимо провести коррекцию системы.

3.2  Построение желаемой логарифмической амплитудной характеристики

Желаемой называется ЛАХ, при которой параметры системы соответствуют заданным (желаемым). Построение ЛАХ выполняют отдельно для низких, средних и высоких значений частоты.

Низкочастотная область определяет точность системы в установившемся режиме при медленно меняющихся воздействиях. Для позиционных СС астатизм равен единице, а наклон низкочастотной асимптоты – минус 20 дБ/дек.

Требуемое значение добротности рассчитано ранее при построении ЛАХ исходной системы, поэтому низкочастотные асимптоты желаемой и исходной ЛАХ совмещаются.

Среднечастотный участок расположен в области частоты среза и определяет запасы устойчивости по фазе и амплитуде, а также показатели качества – время регулирования и перерегулирование .

Из теории автоматического управления известно, что наилучшими динамическими показателями обладает такая система, ЛАХ которой в среднечастотной области имеет наклон от –20 до –30 дБ/дек. Обычно выбирают наклон –20 дБ/дек, так как его проще реализовать с помощью типовых звеньев.

Методика определения границ среднечастотного участка и частоты среза основана на связи вещественной частотной характеристики (ВЧХ) замкнутой системы с показателями качества переходного процесса, а также с ЛАХ разомкнутой системы. Вид ВЧХ для систем с перерегулированием более чем 25 % приведен на рисунок 2.2, а. Основные параметры ВЧХ: и – соответственно максимальный и минимальный выброс; – частота, определяющая интервал положительности.

Частоту среза желаемой ЛАХ можно найти по номограммам, приведенным на рисунок 2.5, б, из формул:

; (2.8)

, (2.9)

где – заданное перерегулирование.

а б

Рисунок 2.5 – ВЧХ (а) и номограммы ее связи (б) с , и

Из соотношений (2.8), (2.9) по известным значениям и можно определить частоту среза , а также максимальный выброс ВЧХ . Частота среза при известном :

.рад/с (2.10)

На этой частоте среднечастотный участок желаемой ЛАХ пересекает ось 0 дБ (рисунок 2.6, б). Минимальное значение ВЧХ рассчитывается по формуле:

. (2.11)

Для определения границ среднечастотного участка используются номограммы связи между ВЧХ замкнутой и ЛАХ разомкнутой систем, представляющие собой семейство изолиний (= const; = const), построенных в плоскости параметров и . Номограммы, указанные выше, приведены в работах [3, 4], а их упрощенный вид представлен на рисунок 2.6, а. Выбираются изолинии, ближайшие к расчетным значениям и , пересечение их с осью позволяет сразу получить значения верхней и нижней границ среднечастотного участка в децибелах, а также значения нижней и верхней частоты.

Выбираются изолинии ближайшие к расчетным значениям и . Пересечение их с осью L(ω) позволяет сразу получить значения верхней и нижней границ среднечастотного участка, а также ω(н) и ω(в) частоты.

 

а б

Рисунок 2.6. – Номограммы (а) и границы среднечастотного участка (б)