Математика (стр. 6 )

Ответ: .

Решение показательных неравенств основано на свойстве: если то при и при

Пример 5. Найти наибольшее целое решение неравенства

Решение. Так как то неравенство можно записать в виде Отсюда , т. е. Наибольшим целым числом, удовлетворяющим неравенству, является 7.

Ответ: 7.

Пример 6. Решить неравенство

Решение. Запишем неравенство в виде Так как то

Ответ:

Пример 7. Найти количество целых решений неравенства

Решение. Перепишем неравенство в виде Пусть Тогда Решая соответствующее квадратное уравнение, получим т. е. Таким образом, т. е. Целыми решениями неравенства являются числа –2, –1, 0 и их количество равно 3.

Ответ: 3.

Упражнения

Решить уравнения и неравенства.

1. Ответ: 6,5.

2. Ответ: 0,375.

3. Ответ: 2.

4. Ответ: 0; 1.

5. Ответ: –3.

6. Найти наименьшее целое решение неравенства

Ответ: 4.

7. Найти наибольшее целое решение неравенства

Ответ: –1.

8. Решить неравенство Ответ: (–1; 0).

9. Решить неравенство Ответ: (0; 0,4).

3.6. Логарифмические уравнения и неравенства

Логарифмом числа b по основанию a называется показатель степени с, в которую нужно возвести основание а, чтобы получить число b: Обозначается

Логарифмическая функция имеет вид где . При функция убывает, а при – возрастает.

При решении логарифмических уравнений и неравенств используются формулы:

1) 2) 3)

4) 5)

6) 7)

8) 9) 10)

Пример 1. Решить уравнение

Решение. Из определения логарифма т. е. х=1. Так как областью определения является множество таких значений х, что т. е. то х=1 принадлежит области определения и является корнем данного уравнения.

Ответ: 1.

Пример 2. Решить уравнение

Решение. Областью определения данного уравнения является множество значений, удовлетворяющих системе неравенств , или . Используя свойства логарифмов, данное уравнение можно записать как или т. е. имеем квадратное уравнение , корнями которого являются , Первый корень не входит в область определения, поэтому не является решением исходного уравнения. Ответ: 1.

Пример 3. Решить уравнение

Решение. Областью определения уравнения является множество значений x>0. Пусть Тогда Корнями этого уравнения являются Тогда х=3 и х=27. Полученные значения х=3 и х=27 принадлежат области определения и являются корнями исходного уравнения.

Ответ; 3; 27.

При решении логарифмических неравенств следует использовать свойства логарифмической функции.

Если то неравенство () равносильно системе неравенств

.

Если же то данное неравенство равносильно системе

.

Пример 4. Найти наибольшее целое решение неравенства

Решение. Данное неравенство равносильно системе или , т. е. . Наибольшим целым решением является Ответ: 4.