Математика (стр. 8 )

Ответ:

Пример 4. Решить уравнение .

Решение Используя формулу двойного аргумента , данное уравнение можно записать в виде , или

Следовательно, или Из первого уравнения находим или Второе уравнение не имеет решений, так как

Ответ:

Упражнения

1. Вычислить если Ответ:

2. Вычислить значение функции при

Ответ: 1.

Решить уравнения

3. Ответ:

4. 3

Ответ:

5.

Ответ:

4. ВАРИАНТЫ ЗАДАНИЙ, ПРЕДЛАГАВШИЕСЯ

НА ВСТУПИТЕЛЬНЫХ ИСПЫТАНИЯХ В 2008 г

Вариант 1

1. Вычислить .

Р е ш е н и е. Сначала выполним умножение в скобках:

.

Затем прибавим в скобках к 1/2 результат умножения:

.

Наконец, результат вычислений в скобках разделим на 1/12:

.

Таким образом,

.

Ответ: 8.

2. Решить уравнение .

Р е ш е н и е. Перенеся члены уравнения, содержащие неизвестную x, в левую часть уравнения, а все известные величины – в правую, получим

.

Приведение подобных членов даст

.

Разделив обе части полученного уравнения на –3, получим решение

.

Ответ: 1.

3. Решить неравенство и в ответ записать наибольшее целое решение.

Р е ш е н и е. Перенеся члены неравенства, содержащие неизвестную x, в левую часть уравнения, а все известные величины – в правую, получим

.

Приведение подобных членов дает неравенство

.

Разделим обе части полученного неравенства на отрицательное число –6. Знак неравенства при этом заменится на противоположный:

.

Таким образом, решением исходного неравенства является бесконечный интервал

.

Наибольшее целое число, принадлежащее этому интервалу, равно 1.

Ответ: 1.

4. Решить систему уравнений .

Р е ш е н и е. Решим систему методом подстановки. Выразим x из второго уравнения:

.

Подставив найденное выражение для x в первое уравнение, получим уравнение с одной неизвестной y:

.

Решив это уравнение, получим значение величины y:

Следовательно,

.

Таким образом, решением системы уравнений является пара чисел x = 2, y = 1.

5. Фермер занял 150 гектаров посевной площади под картофель, под зерновые – на 20% больше, чем под картофель, а под овощи – на 90% меньше, чем под зерновые. Сколько посевной площади (в гектарах) имеет фермер?

Р е ш е н и е. Пусть x, y, z – площади (в гектарах), отведенные фермером соответственно под картофель, зерновые и овощи.

По условию x = 150. Так как y на 20% больше, чем x, то из пропорции

получим

.

Значит, под зерновые отведено 180 гектаров земли.

По условию площадь под овощами z на 90% меньше, чем y. Из пропорции

получим

.

Под овощи фермером отведено 18 гектаров земли.

Таким образом, посевная площадь S равна

.

Ответ: 348 га.

6. Решить уравнение .

Р е ш е н и е. Избавимся от отрицательной степени:

.

Перенеся второе слагаемое левой части уравнения направо, получим

.

Представим в последнем уравнении число 9 как квадрат числа 3 и запишем дробь в правой части в виде степени 3-x:

.

Получили равенство степеней с одинаковым основанием. Значит, должны совпадать показатели степени:

.

Ответ:-1.

7. Решить неравенство . В ответ записать наибольшее целое решение.

Р е ш е н и е. Знаменатель левой части неравенства является неотрицательным числом и не должен быть равен нулю. Найдем значения x, при которых знаменатель равен нулю:

.

Значит, если , то неравенство умножением на положительный знаменатель дроби левой части будет приведено к виду

.

Рассмотрим два случая: x < –3 и x > –3.

Пусть x < –3. Тогда x + 3 < 0 и под знаком модуля находится отрицательное число. Модуль следует заменить выражением –(x + 3):

.

Решая второе неравенство системы, получим

.

Таким образом

Пусть теперь x > –3.

В этом случае и под знаком модуля находится неотрицательное число, так что модуль следует заменить выражением (x + 3):

.

Объединив решения и