ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО НАУЧНЫХ ОРГАНИЗАЦИЙ РОССИИ
ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ БЮДЖЕТНОЕ НАУЧНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ
«ФЕДЕРАЛЬНЫЙ НАУЧНЫЙ ЦЕНТР «КАБАРДИНО-БАЛКАРСКИЙ НАУЧНЫЙ ЦЕНТР
РОССИЙСКОЙ АКАДЕМИИ НАУК» (КБНЦ РАН)
«УТВЕРЖДАЮ» | |
Председатель КБНЦ РАН ________________ «___» ______________________ г. |
Обсуждено и принято решением Ученого совета КБНЦ РАН
«____» __________________г.
Протокол № _______
ПРОГРАММА ВСТУПИТЕЛЬНОГО ИСПЫТАНИЯ ПО СПЕЦИАЛЬНОЙ ДИСЦИПЛИНЕ ПО ПРОГРАММАМ ПОДГОТОВКИ НАУЧНО-ПЕДАГОГИЧЕСКИХ КАДРОВ В АСПИРАНТУРЕ
В 2017 Г
ПО НАПРАВЛЕНИЮ ПОДГОТОВКИ
09.06.01 ИНФОРМАТИКА И ВЫЧИСЛИТЕЛЬНАЯ ТЕХНИКА
НАПРАВЛЕННОСТЬ
05.13.18 МАТЕМАТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ, ЧИСЛЕННЫЕ МЕТОДЫ И КОМПЛЕКСЫ ПРОГРАММ
Программа составлена в соответствии с требованиями ФГОС ВПО по направлению подготовки 09.06.01 Информатика и вычислительная техника, направленность 05.13.18 Математическое моделирование, численные методы и комплексы программ (уровень подготовки кадров высшей квалификации)
Нальчик 2017
Содержание
1. Общие положения | 3 |
2. Содержание и структура вступительного экзамена в аспирантуру | 3 |
3. Дополнительная часть | 5 |
4. Список рекомендуемой литературы | 5 |
1. Общие положения
1.1. Настоящая программа сформирована на основе федеральных государственных образовательных стандартов высшего образования по программам специалитета и программам магистратуры и определяет общее содержание экзамена по специальной дисциплине при приеме на обучение по программам подготовки научно-педагогических кадров в аспирантуре Федерального научного центра «Кабардино-Балкарского научного центра Российской академии наук» (далее КБНЦ РАН).
1.2. Экзамен по специальной дисциплине нацелен на оценку знаний лиц, поступающих на программе подготовки научно-педагогических кадров в аспирантуре, полученных ими в ходе освоения программ специалитета и (или) магистратуры по направлению 09.06.01 Информатика и вычислительная техника, направленность 05.13.18 Математическое моделирование, численные методы и комплексы программ и на отбор среди поступающих лиц, наиболее способных и подготовленных к научной и научно-исследовательской деятельности, имеющих потенциал в части генерирования новых идей при решении исследовательских задач и подготовки диссертации на соискание ученой степени.
1.3. Экзаменационные билеты для проведения экзамена по специальной дисциплине включают 2 вопроса. Вопросы направлены на проверку знаний поступающего по соответствующему направлению подготовки, его способности к анализу и оценке современных научных достижений.
1.4. В ходе экзамена планируется определить:
- глубину знаний и сформированность компетенций поступающего в научно-исследовательской области;
- способность поступающего самостоятельно и квалифицированно проводить исследования и анализировать проблемы современной отраслевой науки;
- широту научного мировоззрения поступающего.
2. Содержание и структура вступительного экзамена в аспирантуру
2.1. Непрерывные функции одной переменной и их свойства. Равномерная непрерывность. Равностепенная непрерывность семейства функций. Теорема Арцела.
2.2. Функции многих переменных. Полный дифференциал и его геометрический смысл. Достаточные условия дифференцируемости. Градиент.
2.3. Определенный интеграл. Интегрируемость непрерывной функции. Первообразная непрерывной функции. Приближенное вычисление определенных интегралов. Формулы трапеций и Симпсона, оценки погрешностей. Понятие о методе Гаусса.
2.4. Числовые ряды. Сходимость рядов. Критерий сходимости Коши. Достаточные признаки сходимости (Коши, Даламбера, интегральный, Лейбница).
2.5. Абсолютная и условная сходимость ряда. Свойства абсолютно сходящихся рядов. Перестановка членов ряда. Теорема Римана. Умножение рядов.
2.6. Ряды и последовательности функций. Равномерная сходимость. Признак Вейерштрасса. Свойства равномерно сходящихся рядов (непрерывность суммы, почленное интегрирование и дифференцирование).
2.7. Собственные и несобственные интегралы, зависящие от параметра. Равномерная сходимость по параметрам и ее признаки. Непрерывность, интегрирование и дифференцирование интегралов по параметру.
2.8. Мера множества. Измеримые функции. Интеграл Лебега и его основные свойства.
2.9. Степенные ряды в действительной и комплексной области. Радиус сходимости. Теорема Коши-Адамара. Теорема Абеля. Свойства степенных рядов (почленное интегрирование и дифференцирование). Разложение элементарных функций.
2.10. Функции комплексного переменного. Условия Коши-Римана. Геометрический смысл аргумента и модуля производной.
2.11. Элементарные функции комплексного переменного (степенная, экспонента, рациональная) и даваемые ими конформные отображения. Простейшие многозначные функции (квадратный корень, логарифм).
2.12. Теорема Коши об интеграле по замкнутому контуру. Интеграл Коши. Ряд Тейлора.
2.13. Ряд Лорана. Полюс и существенно особая точка Вычеты. Основная теорема о вычетах и ее применение.
2.14. Линейные преобразования. Квадратичные формы. Приведение их к каноническому виду линейными преобразованиями в комплексной и действительной областях. Закон инерции.
2.15. Линейная зависимость и независимость векторов. Ранг матрицы Системы линейных алгебраических уравнений, теорема Кронекера-Капели. Общее решение системы линейных алгебраических уравнений.
2.16. Ортогональные преобразования в евклидовом пространстве и ортогональные матрицы. Свойства ортогональных матриц.
2.17. Характеристический многочлен линейного преобразования векторного пространства. Собственные числа и собственные векторы. Свойства собственных чисел и векторов симметрических матриц. Понятие о методе ортогональных вращений решения полной проблемы собственных значений.
2.18. Итерационные методы решения уравнений f(x) = 0 (хорд, Ньютона). Принцип сжатых отображений в полных метрических пространствах и его применение.
2.19. Линейные операторы, норма линейного оператора. Итерационные методы решения систем линейных алгебраических уравнений (методы простой итерации и Зейделя).
2.20. Гильбертово пространство. Линейные и билинейные функционалы в гильбертовом пространстве. Линейные уравнения с вполне непрерывным оператором.
2.21. Интегральные уравнения Фредгольма 2-го рода. Теоремы Фредгольма. Интегральные уравнения с симметричным ядром.
2.22. Ортогональные системы функций. Ряды Фурье по ортогональной системе функций. Ряды Фурье по ортогональной системе функций, неравенство Бесселя, сходимость ряда Фурье. Достаточные условия равномерной сходимости рядов Фурье по тригонометрической системе функций. Влияние гладкости функции на порядок коэффициентов Фурье.
2.23. Теоремы существования и единственности решения задачи Коши для уравнения, системы уравнений первого порядка и уравнения n-го порядка.
2.24. Линейные дифференциальные уравнения n-го порядка. Линейное однородное уравнение. Линейная независимость функций. Фундаментальная система решений. Определитель Вронского. Общее решение неоднородного уравнения.
2.25. Линейные обыкновенные дифференциальные уравнения с постоянными коэффициентами (однородные о неоднородные).
2.26. Устойчивость по Ляпунову решений обыкновенных дифференциальных уравнений. Теорема об устойчивости по первому приближению. Второй метод Ляпунова.
2.27. Простейшая задача вариационного исчисления. Уравнения Эйлера. Вариационная задача с подвижными концами. Условия трансверсальности.
2.28. Градиентные методы поиска экстремума.
2.29. Формализация понятия алгоритма (машины Тьюринга, нормальные алгоритмы Маркова). Алгоритмическая неразрешимость.
2.30. Структура и состав вычислительной системы (аппаратура и программное обеспечение).
2.31. Основные компоненты архитектуры ЭВМ (процессор, устройства памяти, внешние устройства).
2.32. Операционные системы, основные функции. Типы операционных систем.
2.33. Парадигмы программирования (функциональное, императивное, объектно-ориентированное программирование).
2.34. Базы данных. Основные понятия реляционной модели данных. Реляционная алгебра. Средства языка запросов SQL.
2.35. Функции алгебры логики. Реализация их формулами. Совершенная дизъюнктивная нормальная форма.
2.36. Схемы из функциональных элементов и простейшие алгоритмы их синтеза. Оценка сложности схем, получаемых по методу Шеннона.
3. Дополнительная часть
3.1. Математические модели, приводящие к обыкновенным дифференциальным уравнениям. Задача Коши краевая задача. Численные методы решения обыкновенных дифференциальных уравнений.
3.2. Задачи, приводящие к уравнениям гиперболического, параболического и эллиптического типов. Математические постановки основных задач для этих уравнений.
3.3. Понятие корректности постановки краевых задач для уравнений математической физики. Пример Адамара. Некорректно поставленные задачи, метод регуляризации.
3.4. Основные понятия теории разностных схем: сходимость, устойчивость, аппроксимация. Принцип консервативности при построении разностных уравнений. Разностные схемы для уравнения теплопроводности.
4. Список рекомендуемой литературы
1. Александров по аналитической геометрии.
2. Бахвалов методы.
3. Владимиров математической физики.
4. Гельфанд по линейной алгебре.
5. , Позняк математического анализа. Ч. I. и Ч. II.
6. атематические методы в теории игр, программировании и экономике.
7. , Фомин теории функций и функционального анализа.
8. атематические методы статистики.
9. Курош высшей алгебры.
10. Мальцев функции.
11. Нахушев математической биологии. – М.: Высшая школа, 1995.
12. Петровский по обыкновенным дифференциальным уравнениям.
13. Петровский по уравнениям в частных производных.
14. Понтрягин дифференциальные уравнения. – М.: Наука, 1982.
15. Привалов в теорию функций комплексного переменного.
16. Самарский в теорию разностных схем.
17. Самарский разностных схем. – М.: 1978.
18. , Тихонов функций комплексной переменной.
19. Соболев математической физики.
20. Степанов дифференциальных уравнений.
21. , Арсенин решения некорректных задач. – М.: Наука, 1986.
22. ведение в теорию вероятностей и ее приложения. Тт. I и II.
23. Шилов в теорию линейных пространств.
24. Эльсгольц уравнения и вариационное исчисление.
25. Яблонский в дискретную математику. – М.: Наука, 1986.
