Аналитическая геометрия: прямая в пространстве.

Ф1 (x, y, z) = 0,

Ф2 (x, y, z) = 0,
 
Определение. Уравнениями линии L в пространстве называют уравнения двух поверхностей:

которым удовлетворяют координаты точек, лежащих на L, и не удовлетворяют координаты точек, не лежащих на линии L.

Простейшая линия в пространстве – прямая.

1.  Общие уравнения прямой в пространстве

A1x + B1y + C1z + D1 = 0,

A2x + B2y + C2z + D2 = 0.
 
 

2.  Векторное уравнение прямой в пространстве

 

Радиус-вектор текущей точки М -

 

Радиус-вектор заданной на прямой точки М0 -

3.  Параметрические уравнения прямой в пространстве

 

Векторное параметрическое уравнение прямой

x = x0 + mt,

y = y0 + nt,

z = z0 + pt.
 
Записав сумму векторов в координатной форме, получим параметрическе уравнения прямой

4.  Канонические уравнения прямой в пространстве

x = x0 + mt,

y = y0 + nt,

z = z0 + pt.
 

 

2.

 

3.

5. Уравнения прямой, проходящей через две точки

Точки M1 (x1, y1, z1), M1 Î L и M2 (x2, y2, z2), M2 Î L; М(х, у, z) – текущая точка прямой. Направляющий вектор прямой :

6. Основные задачи на прямую в пространстве

Задача 1. Перейти от общих уравнений прямой к каноническим.

Общее уравнение прямой:

Использовано векторное произведение векторов.

Задача 2. Найти угол между двумя прямыми (угол между направляющими векторами) в пространстве.

По известным из уравнений прямых направляющим векторам

 

найдем угол между ними, который и будет углом между прямыми.

Задача 3. Записать условие параллельности прямых в пространстве.

По известным из уравнений прямых направляющим векторам

 

, зная, что , условием параллельности будет пропорциональность соответствующих коэффициентов векторов:

 

Задача 4. Записать условие перпендикулярности прямых в пространстве.

По известным из уравнений прямых направляющим векторам

 

зная, что , как и , условием перпендикулярности будет

В координатной форме это условие следует из скалярного произведения векторов

 

7. Основные задачи на плоскость и прямую в пространстве

Плоскость определена общим уравнением и нормалью

Прямая определена уравнением и направляющим вектором

 

Используя знания векторной алгебры, рассмотрим следующие задачи.

Задача 1. Найти угол между прямой и плоскостью.

Задача 2. Записать условие перпендикулярности прямой и плоскости.

 

Задача 3. Записать условие параллельности прямой и плоскости.

 

Замечание. Все условия записаны в векторной и координатной формах.