Методические рекомендации по изучению
темы «Пучок прямых. Геометрический смысл линейных неравенств от двух неизвестных. Нормальное уравнение прямой»
Студенты должны з н а т ь: определение пучка прямых, центра пучка; способы задания пучка (центром пучка, двумя пересекающимися прямыми); уравнение пучка; определение линейного неравенства с двумя переменными; геометрический смысл линейного неравенства с двумя переменными; понятие положительной и отрицательной полуплоскости; определение нормального уравнения прямой; геометрический смысл коэффициентов нормального уравнения прямой; определение отклонения точки от прямой.
Студенты должны у м е т ь: составить уравнение пучка прямых заданного центром или двумя пересекающимися прямыми; по уравнению пучка записать прямую пучка проходящую через данную точку; определить в какой полуплоскости (положительной или отрицательной) лежит точка относительно данной прямой; задать множество точек плоскости, которое ограничено ломанной; записать нормальное уравнение прямой; определить отклонение точки от прямой.
Указания по изучению теоретического материала:
Материал по теме «Пучок прямых» изложен в [1, § 13.5, стр. 316–318] и [2, Глава V, § 60, стр. 146–148].
Материал по теме «Геометрический смысл линейных неравенств от двух неизвестных» изложен в [1, § 13.6, стр. 321–322] и [2, Глава V, § 62, стр. 150–152].
Материал по теме «Нормальное уравнение прямой» изложен в [1, § 13.6, стр. 319–321] и [2, Глава V, § 64, стр. 153–155].
Задачи с решением
Задача 1. Запишите уравнение прямой, проходящей через точку пересечения прямых 
и 
и через точку 
.
Решение. Всякая прямая, проходящая через точку пересечения двух данных прямых, входит в пучок, заданный этими прямыми, т. е. уравнением:
. Нужно только подобрать значения параметров 
и 
так, чтобы прямая прошла через точку , т. е. чтобы координаты этой точки удовлетворяли уравнению прямой; вставляя их в уравнение пучка, получим: 
или 
. Пусть например 
, при этих значениях параметра мы получим искомую прямую пучка 
, или 
.
Ответ: .
Задача 2. Запишите уравнение пучка прямых, если центром пучка является точка .
Решение. Чтобы задать уравнение пучка необходимо задать уравнения двух прямых пересекающихся в точке . Пусть это будут прямые параллельные осям координат, т. е. прямые 
и 
, тогда уравнение пучка имеет вид 
.
Ответ: .
Задача 3. Определите, в какой полуплоскости лежит точка 
относительно прямой 
.
Решение. Подставим координаты точки 
в левую часть уравнения прямой, получим 
. Значит, точка лежит в отрицательной полуплоскости относительно прямой .
Ответ: отрицательной.
Задача 4. Определите положение точки 
относительно треугольника 
с вершинами , 
, 
.
Решение. Составляем уравнения прямых 
, 
, 
. Подставляя координаты точек 
, , 
соответственно в уравнения противоположных сторон 
, 
, 
, получим
, 
, 
.
Подставляя координаты точки 
в уравнения тех же сторон , , , имеем
, 
, 
.
Значит, точка лежит по разные стороны с точкой относительно прямой , по разные стороны с точкой относительно прямой и по одну сторону с точкой относительно прямой . Схематичное расположение точки относительно треугольника изображено на рисунке 1.
Задача 5. Запишите систему неравенств, которой задаются координаты внутренних точек треугольника с вершинами , , .
Решение. Составляем уравнения прямых , , . Подставляя координаты точек , , соответственно в уравнения противоположных сторон , , , получим
, , .
Следовательно, система неравенств имеет вид 
Здесь было учтено, что внутренние точки треугольника лежат по одну сторону с вершиной треугольника относительно противоположной стороны.
Ответ:
Задача 6. Запишите нормальное уравнение прямой проходящей через точки , . Определите геометрический смысл коэффициентов нормального уравнения.
Решение. Составляем уравнение прямой , как прямой проходящей через две точки. Вычисляем нормирующий множитель 
. Так как 
, то множитель 
берем со знаком плюс, т. е. 
.
Следовательно, нормальное уравнение прямой имеет вид 
. Если 
– угол между нормальным вектором прямой и положительным направлением оси 
, то 
и отклонение начала координат от прямой равно 
.
Ответ: .
Задача 7. Найдите отклонение точки от прямой , заданной уравнением 
.
Решение. Отклонение находим по формуле 
.
Имеем 
. Точка лежит в отрицательной полуплоскости относительно прямой и расстояние от точки до прямой равно 
.
Ответ: 
.
Задачи для самостоятельного решения
1. Запишите уравнение прямой, проходящей через точку пересечения прямых и и через точку 
.
2. Запишите уравнение пучка прямых, если центром пучка является точка 
.
3. Определите, в какой полуплоскости лежит точка 
относительно прямой 
.
4. Определите положение точки 
относительно треугольника с вершинами 
, 
, 
.
5. Запишите систему неравенств, которой задаются координаты внутренних точек треугольника с вершинами , , .
6. Запишите нормальное уравнение прямой проходящей через точки 
, . Определите геометрический смысл коэффициентов нормального уравнения.
7. Найдите отклонение точки 
от прямой , заданной уравнением 
.
Литература
1. , , Феденко и аналитическая геометрия Ч. 1– Мн: Амалфея, 2001. – 400 с.
2. Моденов геометрия. – М. Изд. Моск. универ., 1969, – 700 с.
